@ Álvaro Rendón Gómez, agosto 2010
A. Los orígenes (1)
La Geometría pudo ser icónica al principio, un fiel reflejo de lo que representaba, llegando a una representación fidedigna de lo que el espectador era capaz de percibir visualmente de la realidad. Aunque, no fue hasta los egipcios, que la sociedad matriarcal de las primeras tribus asentadas en el delta del Nilo, Asia menor y, parece ser que en la India y China, fuese capaz de distinguir más allá de lo mucho y lo poco, lo grande y lo pequeño, lo próximo y lejano, lo de arriba y lo de abajo, lo de dentro y lo de fuera; es decir, ir más allá de las dualidades contrarias extremas, explicando el cuánto más lejos, cuánto más grande, etc. Heródoto (485-425 aC.) admiraba a los egipcios, al que les atribuye la paternidad de la Geometría, instaurada por Sesostris I, que dividió las fértiles tierras del delta del Nilo y logró así reunir a las tribus dispersas de los cuatro tigres.
Por el Papyrus Rhind, titulado Instrucciones para el conocimiento de las cosas ocultas, debido al egipcio Ahmes (2.000 aC.), se sabe que éstos poseían un conocimiento bastante aproximado del número π igual a (8/9)2. Y el Papiro de Moscú, de una antigüedad aproximada al siglo XIII aC. se muestra a un pueblo capaz de proyectar obras de ingeniería y arquitectura, levantar enormes pirámides, confeccionar extraordinarios objetos decorativos, fabricar muebles y juguetes, etc. Existía un equivalente al ángulo, conocían la descomposición de figuras geométricas compuesta de otras más sencillas, y podían calcular el área de figuras rectas y de algunos volúmenes.
Más anterior aún -del V, ó del IV, milenio- es el gráfico pétreo que recoge el plano de una fortaleza, atribuido al diseñador Gudea, en Mesopotamia. Hacia el segundo milenio, (1800 – 1500 a.C), con la invasión de los persas, al asentarse la sociedad en Agäis, desarrollarán obras hidráulicas, construirán diques y canales, y serán capaces de realizar mediciones exactas de terrenos de regadíos. A los mesopotámicos se debe la división exacta de la circunferencia en seis partes iguales, de donde tomaron el sistema sexagesimal de medición. También de ellos es el cálculo de terraplenes con perfiles trapezoidales en el que eran verdaderos expertos. También lo fueron en la construcción de tabiques de ladrillos con formas de anillo, y en la adopción de cimientos para levantar templos. Es decir, los geómetras mesopotámicos demostraron conocer la proporcionalidad en los triángulos, lo que implica el empleo del teorema de Thales, el valor de la cotangente, la inclinación de un terraplén y el de π [π = 3 • 1/8]
B. Período Jónico
Mileto es, sin duda, la primera ciudad-estado que buscará la primera sustancia (arjé) sin recurrir a la religión, a los mitos o a la magia. Anaximandro, Anaxímenes y el mismo Thales, basándose en hipótesis y conclusiones, asentarán las bases de la futura geometría axiomática.
Thales predijo el eclipse de Sol del 8 de Mayo del año 585 y calculó la altura de una pirámide a partir de la sombra que proyectaba. Se le atribuyen varios teoremas: El de la suma de los ángulos de un triángulo igual a dos rectos, y el de las paralelas, el más conocido, que dice: dos rectas concurrentes producen segmentos proporcionales en un sistema formado por rectas paralelas entre sí.
Los atomistas, de orientación materialista, como Leucipo, Demócrito de Abdera o el propio Hipócrates de Quíos, designaron al arjé como átomo, o número entero, o medida de todas las cosas.
De Demócrito se conservan cuatro obras: Sobre el contacto de círculo y esfera, Sobre Geometría, Sobre los Números, y Sobre las extensiones. Viajó por Egipto, Persia, Babilonia, la India y Etiopía, se le atribuye la invención de la bóveda, e investigó sobre la perspectiva escenográfica. También escribió acerca de las relaciones existentes entre las longitudes de las cuerdas y los sonidos/tonos que producen al vibrar.
Los Elementos de Hipócrates fue la primera obra que recoge los conocimientos geométricos hasta esos momentos. Emplea el esquema de hipótesis, teorema y demostración de modo sistemático; siendo, también, el primero en utilizar una nomenclatura específica para representar las figuras geométricas por letras: Puntos, segmentos, superficies, etc. El mismo Euclides copió los contenidos de los elementos de Hipócrates en los libros I, II, III y IV. Hipócrates fue un genio: conocía la relación entre ángulos inscritos y los arcos -arcos capaces- construyendo hasta cinco tipos distintos de lúnulas equivalentes al área de un Cuadrado; sabía construir el hexágono regular, la circunferencia circunscrita a un triángulo -hallándole su circuncentro-, y conocía que las áreas de las figuras semejantes guardan la misma proporción que los cuadrados de sus respectivos lados. Con anterioridad a Pitágoras conocía las generalizaciones de su famoso Teorema para triángulos no-rectángulos -agudos y obtusos-; y podía transformar cualquier Polígono en un Cuadrado de igual superficie.
C. Escuela Pitagórica
Pitágoras basó su famoso teorema en conocimientos que adquirió posiblemente en Babilonia. Demostró que la suma de los ángulos de un triángulo equivale a dos rectos -180°-. Conocía la existencia de los Poliedros que después difundiría Platón, de los que recibieron su nombre [figuras platónicas].
Hiparco de Metaponto, discípulo del maestro, fue tomado como ateo [y, consiguientemente, expulsado de la Escuela] al exponer en público que la esfera del universo estaba constituida por doce pentágonos, en clara alusión al dodecaedro platónico. A Hiparco se debe el descubrimiento de los segmentos inconmensurables al relacionar las diagonales del Pentágono con los lados tanto del Pentágono convexo, como del resultante interior .
D. Período ateniense
Platón representa el idealismo en Geometría. Fundó la Academia (su discípulo Aristóteles fundaría el Liceo, y Epicuro el Jardín), y se cree que estuvo vinculado a la escuela pitagórica a través de su discípulo Teeteto. Sostenía que la representación geométrica que se hace de los elementos geométricos es inexacta, y que sólo el pensamiento abstracto, la idea que nos evoca la comprensión del elemento en sí, es capaz de corregir las inexactitudes de su representación. Cuando se divide una circunferencia en cuatro partes iguales, mediante dos diámetros perpendiculares, el ángulo que forman sus diagonales es recto. Los lados del cuadrado que se formaría al unir los cuatro puntos equidistantes y concíclicos, puede que sea de 89°30’, o de 91°, o acercarse a los 90° con una concreción de (-1”); en cualquiera de los casos la inexactitud del cuadrado jamás se acercará a la idea de cuadrado geométrico, aunque la inexactitud no sea apreciable. A la escuela platónica se debe el estudio de las curvas más complicadas, como el Cuadratiz, debida a Hipias, el concoide, el cisoide, etc. Fueron sus representantes más destacados, el anciano Teodoro de Cirene que delineó una asombrosa teoría de los cuadrados en presencia del propio Platón, el joven Eudoxo de Cnido, el amado Teeteto, y el anteriormente citado Hipias.
E. Período helenístico
Alejandría, en la desembocadura del Nilo, y su famoso Museo, se convertiría en un foco cultural de primera magnitud. Pertenecen a este período eminentes geómetras, como Euclides, Eratóstenes, Arquímedes, Apolonio, Herón, Ptolomeo y Diofanto.
Euclides, sin duda el más célebre geómetra de todos los tiempos, escribió trece libros donde registró los avances en la materia hasta su época. Estos Libros los agrupó bajo un mismo título, Elementos, en los que incluyó estudios sobre planimetría (Libros I, II, III, IV, V y VI), teoría de números (Libros VII, VIII y IX), teoría de irracionales (Libro X) y sobre estereometría (Libros XI, XII y XIII).
Los cuatro primeros Libros, referidos a los elementos geométricos y Polígonos regulares inscritos y circunscritos, parece ser que procedían del Período jónico, concretamente a los conocimientos transmitidos oralmente, muchos de ellos filtraciones de las doctrinas acerca del número de Pitágoras. El Libro V, que contiene la extensión de la teoría de las magnitudes a los irracionales, es de Eudoxo de Cnido; el VI, de las proporciones, aplicada a la planimetría, de varios autores y de ninguno en concreto (Thales, Teodoro, el propio Pitágoras, etc.). Los Libros VII, VIII, IX y XI, es también del período jónico. De Teeteto son los Libros X y XII. Finalmente, el Libro XIII, de Eudoxo de Cnido.
La estructura general de los Elementos se fundamenta en descripciones, definiciones, postulados y axiomas, hasta crear un entramado geométrico único, en el que sólo es posible un tipo de espacio: el plano.
De todos los axiomas, el más discutido fue el quinto, denominado de las paralelas, que estuvo tentado durante mucho tiempo de convertirse en un teorema sin poder lograrse debido a que no tiene demostración. Por ello, existieron geómetras que, al no aceptarlo como postulado, abrieron la puerta a otras geometrías denominadas no-euclídeas.
Euclides también escribió Sobre la descomposición de figuras, Porismas, o proposiciones con las que se puede encontrar algo; Pseudaria, sobre razonamientos falsos; los Dedomena (datos), muy interesantes, investigan qué puntos de una figura y qué características tienen en cuanto a tamaño, posición, etc., partiendo de determinados datos .
La Cuadratura de la Parábola, de Arquímedes, o De la Esfera y el cilindro, Sobre concoides y esferoides, Sobre espirales, El libro de la lemnata, La construcción de los heptágonos regulares, Sobre sólidos semirregulares, etc., etc., son algunas de sus más famosas obras. De ellas, y quizás porque su redescubrimiento se haya producido con relativa proximidad (1906), su Tratado del método, que versa sobre las proposiciones deducibles mecánicamente, es el más famoso.
Apolonio de Pérgamo escribió ocho libros que tituló genéricamente Cónicas. En ellos es el primero en mostrar un método para generar uniformemente estas curvas a partir de secciones planas a Conos. También desarrolló un modelo del universo mediante la construcción de mecanismos basados en excéntricas y epicicloides, con el que demostró la teoría circular platónica del movimiento de los planetas.
El Almagesto, -que significa en árabe, la gran síntesis-, de Ptolomeo, en el que sostiene la teoría de considerar la Tierra como el centro del universo, es un maravilloso libro donde, además, se intenta una demostración del V postulado de Euclides y una trigonometría plana y esférica.
En Los Elementos, de Herón de Alejandría, los principios se exponen recurriendo a casos prácticos, en contraste con los de Euclides. De manera que, si los primeros desarrollan una geometría idealista, platónica e incluso pitagórica, este la hace mediante aplicaciones prácticas, en un intento de volver a los orígenes de la geometría, que significaría un lamentable paso atrás.
El Teorema de Pappus de Alejandría, contenido en su grandiosa obra titulada Colletio es el precursor de la geometría proyectiva, al proponer que si sobre dos rectas, paralelas o concurrentes, se toman tres pares de puntos cualesquiera en ellas, los puntos de intersección de las rectas que los unen son colineales de otra, (Figura Teorema de Pappus).
F. El Feudalismo oriental
F.1 La Geometría china
La obra original más copiada de la historia de China fue, sin duda, Matemáticas en nueve libros, cuyo autor se desconoce, así como la época en que pudo haberse escrito. Se conoce por la reelaboración que hizo Liu Hui en el año 363, sufriendo numerosas modificaciones hasta su impresión en el año 1.084, al convertirse en el libro oficial de ingreso al funcionariado; fue reformada, finalmente, por Quin Jiu-shao en 1247. Contiene numerosas soluciones a problemas de geodesia y agrimensura, cálculo de áreas del círculo, cuyo valor adjudicado a π oscila entre 3 y [3 • 3/8].
Espejo marino de las medidas del círculo, escrita en 1248 por Li Ye, Precioso espejo de los cuatro elementos, de Zhu Shi-jie, escrito en 1303, completan lo que se dispone de la Geometría China.
F.2 Geometría en India
La cultura india, de transmisión oral, dificultó enormemente la investigación del origen de la Geometría en esta sociedad de evolución rápida y próspera desde sus primeros asentamientos en la cuenca del Indo. Los hindúes conocían numerosas construcciones: cuadrados, rectángulos, triángulos, círculos, conos, cilindros, etc.; sabían calcular áreas con extraordinaria habilidad, empleando los conceptos de semejanza y proporción, como puede ser constatado en los magníficos entrelazados que ornan las decoraciones de templos y pagodas; y podían dividir segmentos en partes iguales o proporcionales, aplicando una operación muy parecida a la del Teorema de Thales.
Estos conocimientos han llegado a nosotros a través de las escrituras religiosas, como los Veda y el Sura-Sutra, o reglas de cuerda, instrucciones geométricas para poder construir altares con el sólo uso de cuerdas y palillos de bambú que se fijaban al suelo a modo de estacas; demuestran los sólidos conocimientos geométricos que poseían: podían calcular el área de figuras poligonales y el volumen de la pirámide y del tronco de pirámide, empleando una medida aproximada para el número π [π = 3 • 1/6], (19).
F.3 Islam
Al-Jwarizmi y, sobre todo, Tabit b. Qurra en su trabajo Sobre las demostraciones geométricas en problemas de álgebra (siglo X), recurren a la geometría para probar la exactitud de las soluciones algebráicas y no dudan en emprender una aritmetización de los Elementos de Euclides, basándose en la Aritmética de Diofanto; así como impulsa la demostración de la teoría de la paralelas, lo que significa el primer intento de concepción de una geometría no-euclídea, debida, sobre todo a Al-Maytam, Al-Jayyam y Al-Tusí.
El Tratado sobre el cuadrilátero completo (1260), de Nasir al-Din al-Tusí, incorpora la determinación de los triángulos oblicuángulos dados tres lados o tres ángulos. Al-Kasi ajustó, finalmente, el valor de 2π hasta dieciséis decimales.
F.4 Feudalismo europeo
La caída del Imperio romano trajo consigo hambre y caos económico, pasando a las aldeas rurales el control de la economía que volvió a convertirse en agraria y natural, y el nacimiento del feudalismo como modo de dominación, entre los siglos V y XI. La característica fundamental es la absoluta dependencia del campesino al señor, del que recibe protección frente a otros señores feudales a cambio de trabajo y cosechas.
La cultura y el saber se convirtieron en enemigos de la religión dominante. Tertuliano tachaba a la filosofía de ser origen de herejía, fusionando los conceptos de conocimiento y creencia.
Sólo una excepción: La corte de Carlomagno, del 800, destacando la insigne figura de Alcuino, natural de York, quien redactó unas Propositiones ad acuendos juvenes, donde se exponían saberes romanos sobre áreas, en construcciones muy poco rigurosas.
G. Escolástica
Hasta que se iniciara en Italia el resurgir de la cultura clásica, entre los siglos XII y XIII, la Iglesia se percató que el saber era necesario para el mantenimiento del orden, lo que originó que obligase a ciertas órdenes religiosas su desarrollo y cultivo. Comenzó a exteriorizarse con las escuelas catedralicias, terminando en la instauración de Universidades, en donde se impartían la totalidad de los saberes -universitas-, agrupados, como se sabe, en el trivium: gramática, retórica y dialéctica; y el quadrivium: aritmética, geometría, astronomía y música, cuyas enseñanzas y conocimientos, sobre todo en geometría plana y estereometría, no pasaron de ser muy elementales, significando un claro retroceso a lo conseguido anteriormente.
Hasta que, Leonardo Fibonacci de Pisa, en 1202, no publicara el Liber abaci (Libro del ábaco), no se dio un claro avance en el cálculo con cifras y un impulso al saber emanado de la burguesía: la nueva clase social emanente integrada por comerciantes, banqueros y libre pensadores, iniciándose un desplazamiento del saber hasta entonces en manos del clero y de la Iglesia.
H. Renacimiento
Esta burguesía, interesada en la economía, impulsó los saberes de la antigüedad considerada como una época dorada, y el renacer de la cultura clásica, en la que el hombre y sus intereses ocupaban el centro de sus preocupaciones y esfuerzos.
La divulgación de los escritos de Arquímedes, Ptolomeo, Euclides, Apolonio o Diofanto, mediante una revolucionaria máquina de hacer copias, inventada por el orfebre Gutemberg, favoreció este resurgir.
La obra De Revolutionibus, de Nicolás Copérnico, que sustituye la visión geocéntrica por la heliocéntrica, corroborada por los escritos de Galileo y Cavalieri en el siglo XVII, dio un impulso a este interés por la astronomía, la trigonometría plana y la trigonometría esférica.
En Geometría, la representación en profundidad de los diseños de fortificaciones, por el progresivo poder de destrucción de la artillería, puso en cuestión las antiguas representaciones planas, poniendo en marcha la búsqueda de una Geometría Descriptiva, cuyo punto de partida serán las soluciones dadas en las artes liberales -pintura, grabado, escultura, etc.-
Viena es el ejemplo de este amor por la astronomía, pues en ella se creó una de las más importantes escuelas astronómicas de los siglos XIV y XV, la de Regiomontano que entre 1462 y 1464 escribiría De triangulis omnimobis libri quinque, que significó la definitiva liberación de la trigonometría plana y esférica de la astronomía. Un siglo más tarde, los avances de Regiomontano serían seguidos por Vieta (siglo XVI), creador de la goniometría y de la ciclometría, en su búsqueda de la exactitud de π, en un intento por cuadrar el círculo.
Pero el problema geométrico más acuciante del Renacimiento fue el de representar científicamente figuras del espacio. Artistas como Giotto, van Eyck, Brunelleschi y Leon Batista Alberti, superaron algunos de los problemas más inmediatos, pero se quedaron en intentos ópticos. Leonardo da Vinci escribió Perspectiva, resumen de otros escritos anteriores, del que no se dispone de copia al perderse, y Luca Pacioli, Proportio Divina -divina proporción- de notable éxito. En 1500, Durero editó un texto para artistas, artesanos e ingenieros que tituló Enseñanza de la medida con regla y compás; dos años después, otro, sobre fortificaciones, titulado Algunas instrucciones respecto a la fortificación del castillo y la aldea circundante; y algunos años más tarde, una teoría sobre el canon de belleza en la figura humana.
I. La revolución cultural
El largo Período comprendido entre los siglos XVI y XVIII representó el cambio social del feudalismo hacia el mercantilismo, después de numerosas guerras y revoluciones que zarandearon la vieja Europa. Es la época de las agrupaciones científicas y el de la fundación de numerosas Academias. Sir Francis Bacon inspiró la creación de la Royal Society británica con su libro Nova Atlantis. En Francia, su homónima se denominó Academia de París; y en Alemania, la Academia Leopoldina, actualmente en Halle.
La concepción geométrica también sufrió importantes cambios en su algebrización, iniciada por Al-Jwarizmi. Esta nueva Geometría se inicia con Fermat y Descartes, y tendrá su máximo desarrollo de contenidos y métodos en el siglo XIX. En realidad, ya hubo antecedentes anteriores en Hiparco y Ptolomeo, que representaron lugares y superficies recurriendo a un sistema integrado por latitudes y longitudes; o en el mismo Herón cuando empleó algo que denominó lineae ordinale. Hay otros ejemplos anteriores, como el modo en que los romanos desplegaban sus campamentos: componiendo una cuadrícula ajedrezada; lo que permitía una localización racional de cualquier tienda. Ahora bien, como precursor real de la nueva Geometría analítica se considera al obispo de Lisieux, Francia, Nicolás Oresme, que introdujo en su obra Teoría de las latitudes de las formas, una situación de los objetos en movimiento mediante dos elementos: al primero le denominaba basis, extensio o longitudo; perpendicular a éste situaba la latitudo o intensio, obteniendo figuras -figurae o formae-; sólo que, estas figuras representaban movimientos y no formas geométricas reales.
René Descartes, en 1637 publicó anónimamente -por miedo a la Inquisición- su Discurso del método, que, en principio, se refería a tres teorías: de las radiaciones, de los meteoros y fenómenos atmosféricos y a la geometría; representando implícitamente, el nacimiento de la geometría analítica. En ella distinguía dos tipos de problemas: los determinados, encaminados a resolver ecuaciones algebráicas por medio de una construcción geométrica; y los indeterminados, que resolverían los problemas de lugares geométricos o la ecuación de una curva, o que dependían de variables.
Pierre de Fermat, abogado de Toulouse, en su Ad locos planos et solidos isagoge, o, Introducción a los lugares geométricos planos y sólidos, llegó a las mismas conclusiones que Descartes pero por otra vía. El desarrollo posterior de esta nueva geometría sería lento y difícil. El trabajo de Fermat circuló en copias hasta 1679 en que se publicó; mientras, el Discurso del método fue incluido en el Indice de obras prohibidas por la Iglesia.
En el siglo XVI, el algebrista von Schooten publicó La Geometría adoptando la geometría analítica de Descartes; Newton, en 1676, empleó el sistema de coordenadas que denominó cartesiano; y Euler, en su Instrucción al análisis de las magnitudes infinitamente pequeñas, de 1748, amplió sus principios. Pero el término de geometría analítica habría que esperar a que Lacroix lo emplease en Cours de Mathématiques, en 1769; mientras que la instauración definitiva se realizó durante el XIX de la mano de geómetras como Moebius, Grassmann, Jacobi, Caysey y otros.
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(1) Esta Breve Historia se publicó en “Geometría paso a paso”, de Álvaro Rendón Gómez, ed. Tébar, Madrid
• Un apartado que igualmente se ha desarrollado con profusión de ejemplos es el que trata sobre Equivalencia:
