Volumen I. Geometría métrica

GEOMETRÍA PASO A PASO, volumen I

©Álvaro Rendón Gómez, marzo 2011

En el 2003 elaboré una Geometría paso a paso, volumen I, que tenía por subtítulo: Elementos de Geometría Métrica y sus aplicaciones en Arte, Ingeniería y Construcción; es decir, trataba toda la geometría plana de un modo didáctico. Sin perder el rigor científico que una obra de esta envergadura debe asumir, la exposición y resolución de los contenidos teóricos y resolución de casos se ejecutaron de modo didáctico e innovador. Sus 568 páginas y más de 4.000 dibujos demuestran que no se escatimó esfuerzos para hacer entendible y asequible una materia que se hace intragable para muchos.
Los escasos ejemplares que se editaron en Tébar/Madrid se agotaron en apenas unos meses del 2000, sin que hubiera una reimpresión o reedición. No obstante, siguen en el Catálogo de esta editorial, aunque se encuentra en una situación de agotado y los contratos expirados desde hace varios años.
Me consta que numerosos estudiosos y amantes de la Geometría Métrica demandan actualmente aquellos ejemplares que me niego a esta editorial vuelva a publicarlos. Como los derechos, después de este tiempo, siguen siendo del autor, he pensado en publicarlos por mi cuenta y riesgo.
No soy editor y mi experiencia en este sector de mercado se ha limitado a hacer presentaciones y recomendaciones de la obra que escribí y dibujé; además, no dispongo de patrimonio para mandar imprimir y esperar que se empolven en los almacenes de distribución o en las estanterías de las Librerías.
El único modo de que profesores, estudiantes, interesados y amantes de la Geometría Métrica puedan disponer de ejemplares de esta edición única sería haciéndome llegar su interés en adquirirla. Sería un procedimiento sencillo que no exigiría desembolso inicial; únicamente dejaría sus datos personales: Nombre, apellidos, dirección postal completa donde desearía recibir los ejemplares a contrareembolso y una dirección de correo electrónico para mantenerlo informado de los plazos.

El volumen se imprimiría a una sola tinta, en formato 210 x 265 mm, con portada flexible a todo color, encuadernado en librillos cosidos y encolados al lomo. He pedido presupuestos. Oscilan entre 18 € y 25 € que con el IVA y los gastos se podría en unos 35 €/ejemplar; es decir, unos 65-75 € los dos. Me supongo que, de imprimirse más ejemplares por tirada, los costos tendrán que bajar. Por tanto, reserva tu ejemplar o ejemplares en alvarengomez@gmail.com; en cuanto alcancemos la cifra de 500 interesados me pondré en contacto con todos para confirmar el precio definitivo, que siempre será menor al expuesto anteriormente, e indicarles dónde y cómo realizar el ingreso. Mientras, bastará con que envíes un correo con la reserva. Gracias.

Utiliza este mismo correo para hacerme llegar tus observaciones y comentarios; así como si  desea recibir un pdf con algunas de las páginas que encuentre interesantes.

A continuación expongo algunas páginas de esta Geometría Métrica, paso a paso, que iré comentando muy sucintamente. Si deseas ampliar el tamaño de las páginas del libro clikea una vez sobre la ilustración correspondiente. Gracias.

• Se muestra de manera clara y contundente el correcto empleo de la Escuadra y el Cartabón en el trazado de lugares geométricos: Mediatrices, Bisectrices, ángulos, etc.

• Cada caso se explica en fases o pasos, desde un primero con los datos, hasta los desarrollos  solución. De manera que el Alumno no se confunde de líneas al seguir las explicaciones escritas. Obsérvese cómo se ha explicado el trazado de una curva-Bisectriz a un ángulo mixtilíneo, en dos fases o pasos. Asó como, el trazado de ángulos de 15° en 15º, con la ayuda de las plantillas de dibujo:

• No se han escatimado esfuerzos en el análisis de las líneas y puntos notables de todos los triángulos-tipos. El ejemplo que incluimos en la página siguiente, muestra el análisis de líneas notables en un triángulo Escaleno:

• Además de las líneas y puntos notables que se puede hallar en cualquier libro de geometría en este se incluyen otras líneas notables: Recta de Simpson, de Wallis, punto de Menelao, segmentos de Brocard, puntos isotómicos, isogonales, punto de Euler, de Feuerbach, etc., en cada tipo de triángulo. En el ejmeplo siguiente se ha aplicado a un triángulo Escaleno:

• Los análisis de triángulos-tipos incluyen ejemplos de resoluciones según se den lados, ángulos, líneas notables, etc. como se muestran en las páginas que mostramos a continuación:

• Idéntico tratamiento pormenorizado y riguroso reciben los análisis a Cuadriláteros; a los que siguen muchos ejemplos de resoluciones destacadas, dependiendo de los datos, y todo ello con el mismo tratamiento por fases del desarrollo o pasos:

• Ningún estudio sobre Geometría trata con tanta extensión y profundidad a los Polígonos regulares como en este volumen de Geometría Métrica. Una muestra de esto que decimos son las páginas de ejemplo que incluimos a continuación:

• El capitulo 3 de este volumen de Geometría Métrica se dedica a las “Relaciones métricas en el Plano”, que incluye apartados tan interesantes como razón y proporcionalidad (medio proporcional, tercero proporcional, cuarto proporcional, medio armónico, sección áurea y operaciones de producto y división proporcional de segmentos con números fraccionarios e irracionales), igualdad, escalas y figuras escalares, así como la Geometría de la relación:

• El Capítulo 4 trata sobre las relaciones métricas en el Círculo, analizando y operando con todos los elementos de una Circunferencia (líneas, puntos y porciones notables; ángulos, perpendicular y oblicua a una Circunferencia, Arco Capaz, Rectificación), Potencia, Eje y Centro Radical, Haz de Circunferencias y Polaridad.

• Las Transformación geométricas en el plano, se tratan en el capítulo 5  que abre con un Cuadro-resumen de Transformaciones, donde se resumen todas las transformaciones que hallará el Alumno desarrolladas en el capítulo (Isomerías -acordes y discordes-, Semejanza, Afinidad e Inversión).

El Cuadro resumen que se expone a continuación trata sobre producto de transformaciones:

• Las Transformaciones por Homología o por Afinidad son tratadas de un modo tan gráfico que su aprendizaje no ofrece dudas:

• En el apartado dedicado a Inversión se muestran construcciones de artefactos curiosos utilizados para hallar puntos inversos, como el Inversor de Peaucellier o el de Hear:

• Un apartado que igualmente se ha desarrollado con profusión de ejemplos es el que trata sobre Equivalencia:

• Como viene siendo habitual, dentro de la metodología didáctica aplicada en el volumen que mostramos, antes de desarrollar el capítulo dedicado a Tangencias, se muestra un Cuadro general de casos de tangencia, donde se sugieren los procedimientos de resolución (en lenguaje criptográfico, cuyas directrices se dan en los Apéndices de este mismo volumen) dependiendo de los datos y de la situación de estos:

• Uno de los capítulos más completos de este volumen I de Geometría es, sin dudas, el 7, dedicado a Curvas; porque, además de analizar una gran número de ellas, expone su construcción, se le trazan tangentes (cuando la curva se presta) y se muestran tipos. 

• Con aplicaciones en construcción de piezas industriales:

• Motivos decorativos:

• Curvas de rodadura y sus aplicaciones al cálculo de excéntricas y levas, engranajes y tornillos, etc.:

• Y, finalmente, su aplicación al dibujo de Construcción, comenzando por los órdenes clásicos:

• Y acabando con trazados de Arcos para vanos y puertas:

• El volumen se completa con interesantes Apéndices, como el que se expone a continuación, un Cuadro-resumen general de todo lo tratado en el libro, con sugerencias de niveles de aplicación, en lo que le hemos denominado “Itinerarios didácticos”, que sirven de orientación al profesorado y al Alumno libre:  

Hasta aquí la exposición de los contenidos que hallarás en este volumen. Espero que las páginas seleccionadas hayan contribuido a dar una idea aproximada de lo que es el libro. Gracias por vuestra atención y hasta siempre.

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Cuadratura del Círculo

© Álvaro Rendón Gómez, septiembre 2010

Durante todo el siglo XIV, en los albores del trescientos, los geómetras abordaron muchos problemas que obsesionaron a griegos y, en menor medida, a romanos. Además del número de oro, que cobró un extraordinario empuje a raíz del descubrimiento de la serie Fibonacci y sus innumerables aplicaciones; la duplicación del cubo; o la trisección gráfica de un ángulo cualquiera, que sería un acicate para investigar procedimientos de división de la circunferencia en partes iguales o proporcionales; sin duda, la cuadratura del círculo, o hallar un círculo equivalente a un cuadrado, significó un desafío a las vejas creencias, un reto que demostraba la independencia del hombre con las viejas creencias (Vitruvio Polión, Marco . “Arquitectura: Libros I-IV”. Madrid: Editorial Gredos, 2008). El procedimiento es muy curioso, ilustración 1.

El cuadrado dado es el ABCD. Tomando como centro el punto M, pie de la mediana vertical HM, y radio la distancia MB (igual a √5) se traza el arco que corta en O1 a su prolongación y concreta el radio del círculo equivalente. Bastará hacer centro en O y trazarlo con radio O-O1, para resolver el problema.

Obsérvese que O1 es el centro de un cuadrado especial que tiene por lado la cuarta parte del de partida y deja libre segmentos de longitudes ⅜ el lado del mayor, a uno y otro lado del mismo. El triángulo rectángulo de lados 2-3-4, sin ser diofántico, permitiría igualmente el trazado del círculo equivalente. El trazado no es exacto como cabe suponerse. Es una aproximación curiosa, de una belleza y simplicidad que merece conocerse.

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Curiosidades del Plano Básico

© Álvaro Rendón Gómez, Agosto 2010

Hay muchas razones para considerar al Cuadrado como una forma básica que, junto al Triángulo Equilátero y el Círculo, completarían la Tríada de Formas fundamentales. Este artículo pretende aportar una razón más: la adaptabilidad del Plano Básico a relacionarse con todos los Polígonos regulares. Es decir, que tomando al Cuadrado como origen se deriven todos los demás polígonos. La formulación del problema quedaría como sigue: “Construir polígonos regulares que tengan por lado el de un Cuadrado dado“; que podría concretarse en “hallar los centros de las Circunferencias que inscriben a cualquier polígono regular convexo que tiene por lado el de un Cuadrado tomado como referencia”

La solución que mostramos da lugar a multitud de especulaciones que el amante de la Geometría podrá averiguar y deducir, descubriendo el carácter creativo de la disciplina. Las construcciones estarían basadas en la existencia de una relación proporcional entre el lado de un Cuadrado dado y puntos de su mediatriz; de tal modo que tomándolo como centros de Circunferencias sucesivas, permitirán inscribir Triángulos Equiláteros, Pentágonos, Hexágnos, Heptágonos, Octógoos, Eneágonos, Decágonos, etcétera. El articulo llega hasta la construcción de este último; pero permite continuar con oros, tomando como referentes los centros de las Circunferencias que inscriben a los anteriores, como tendremos ocasión de demostrar.

Así, la Figura 1, es referencial y muestra el centro de la circunferencia que inscribe al Cuadrado o Plano Básico como la conjunción de todos sus elementos relacionantes (diagonales y mediatrices), estableciendo la equidistancia necesaria para que los vértices A-B-C-D quede contenidos en dicha Circunferencia. El centro del Polígono es el centro del Círculo que lo inscribe.

En la Figura 2, el centro O de la circunferencia que inscribe a un Triángulo Equilátero de lado el del Cuadrado de partida se concreta de modo muy sencillo y directo: uniendo uno de los vértices de la base del Cuadrado (C) con el punto J, de intersección del arco de centro dicho punto C y radio la longitud del lado dado. De este modo, trazando el Círculo de centro O que contiene a los extremos B y C del Cuadrado, habremos solucionado la cuestión.

El centro del Círculo que contiene al Pentágono regular convexo, O, es el resultado de unir el punto Q, pie de la mediatriz horizontal del Cuadrado dado con el punto E, intersección con el lado del Cuadrado dl arco de centro el pie de mediatriz vertical, N, y radio el lado del mencionado Cuadrado. Obviamente, para completar el Polígono regular habrá que llevar la longitud del lado del Cuadrado dado, idéntico por construcción al del Pentágono regular a lo largo del Círculo para ir concretando sus vértices, Figura 3.

El centro O del Círculo que inscribe a un Hexágono regular convexo de lado el de un Cuadrado dado, Figura 4, es el vértice superior de un Triángulo Equilátero de lado idéntico al de los polígonos anteriores, de partida y construcción. Para construir el Triángulo Equilátero se procederá como se ha explicado en la Figura 2

La Figura 5 muestra gráficamente estas relaciones que mencionamos al comienzo del articulo. Obsérvese que el centro O del Heptágono regular –polígono de siete lados iguales entre sí–, se obtiene mediante el arco de centro el del Hexágono regular y radio la distancia del mismo al centro del Pentágono regular.

El centro O del Círculo que inscribe al Octógono regular convexo de lado el del Cuadrado de referencia, estará en cualquiera de las mediatrices del mismo. En la Figura 6 se ha tomado la mediatriz vertical que es cortada por el Círculo que circunscribe al Cuadrado. De modo que, bastará hacer centro en el del Cuadrado y trazar el arco de diámetro la diagonal del mismo.

Llevada sobre la mediatriz vertical la distancia M-5, se obtiene el centro O del Circulo que inscribe al Eneágono regular convexo -nueve lados iguales entre sí– de lado idéntico al de un Cuadrado dado, Figura 7. M-5 es la distancia que separa el pie M de la mediatriz vertical del Cuadrado con el centro 5 del Círculo que inscribe al Pentágono regular del mismo lado.

Llevada la distancia (6-5),la que separa al centro del círculo que inscribe al hexágono regular de lado el del Cuadrado dado inscrito con el centro del pentágono regular inscrito, sobre la mediatriz, se obtenía el centro 7 del heptágono regular inscrito, Figura 5. Ahora bien, llevada la distancia (7- 5) sobre la misma mediatriz por N a partir del centro 7, se obtendrá el centro 9 del círculo de radio [9B = 9C] que inscribe al Decágono regular de lado el del cuadrado de lado el dado.

La Figura 9 muestra un resumen de los centros de los Polígonos y sus relaciones. Obsérvese que a partir del Heptágono, el segmento de separación entre los centros tiende a estabilizarse. Esto, obviamente, no es geométricamente exacto porque, como se sabe, las relaciones se verán alteradas por el numero irracional π.

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Hablemos de rectángulos

© Álvaro Rendón Gómez, septiembre 2010

Analicemos a continuación los rectángulos más interesantes que podemos encontrarnos en nuestros análisis geométricos.
La gran clasificación es considerar tres tipos genéricos:

• Estáticos

• Dinámicos

• Irracionales.

• Rectángulos estáticos

Constituidos por lados con dimensiones enteras y se obtienen dividiendo el PB (Cuadrado) en partes iguales, porciones que pasarán a considerarse unidades. Así, si se divide en tres partes iguales, cada una de estas partes será una unidad entera. Y se dirá entonces que el PB es 3:3, idéntico al 2:2, 1:1, o cualquier otro número de divisiones en que lo dividamos.
Los más conocidos y utilizados son los que se exponen en la ilustración siguiente; y que enumeramos como Rectángulo estático 4:5 (primero, se nombra el lado de la base, y a continuación el lado vertical); Rectángulo estático 3:4; Rectángulo estático 3:5; etcétera.

Es evidente que cualquier combinación de partes compondrá un buen rectángulo estático, siempre que la estas partes no sean divisibles entre sí; en cuyo caso, se tomará la fracción menor. Así, un rectángulo 3:6 es idéntico al rectángulo 1:3, resultado de reducir la fracción.

El rectángulo estático más famosos es el 3:2, denominado Rectángulo Egipcio; que tiene la propiedad de contener en su interior una Mandorla (Almendra) o Vesícula Piscis, el resultado de la intersección de dos Círculos equipolentes de radios idénticos, cuyos centros son los extremos de un segmento de longitud el mismo radio.

Esta peculiar disposición confiere múltiples propiedades y divide el espacio rectangular de manera armónica, como se muestra en la siguiente ilustración.

• Rectángulos dinámicos

Se obtienen mediante la diagonal de un rectángulo anterior, tomado como base, que conservará uno de los lados; siendo la longitud del otro lado, la de la diagonal correspondiente al de partida. Los rectángulos dinámicos más usuales son los que tienen al PB de partida; empezando por el Rectángulo raíz cuadrada de dos, que, como se sabe, es la longitud de la diagonal del Cuadrado de lado la unidad [D = √1+1 = √2], tomado de partida.

Rectángulo raíz cuadrada de tres; tomando como lado mayor la diagonal del rectángulo raíz cuadrada de dos, de partida

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Rectángulo raíz cuadrada de cinco medios. La diagonal del semi-Cuadrado es igual a raiz cuadrada de cinco partido por dos; por tanto podré emplearse como lado de un rectángulo que tenga como lado mayor el del Cuadrado de partida y como menor, el de la diagonal hallada; o bien, añadirle dicha diagonal al semi-lado del Cuadrado, obteniendo un resultado que guardará la misma relación proporcional.

Rectángulo raíz cuadrada de cinco [√5]. La diagonal del rectángulo raíz cuadrada de tres, mencionado antes, es igual a raíz cuadrada de cinco; por tanto, se podrá emplear para obtener el rectángulo buscado. Bastará partir del rectángulo √3 y aplicar el procedimiento ya visto.

En la ilustración siguiente, se observam ciertas relaciones proporcionales de enorme importancia cuando tengamos que aplicar longitudes equivalentes a las raíces cuadradas de lados de determinados rectángulo. La primera relación es obvia: Las diagonales (B-M y B-N) son iguales [B-M = B-N] al tratarse de un rectángulo estático de razón 2:1 ó su idéntico 1:2 (el primero horizontal, el segundo vertical), de valores √5.

En el rectángulo √2, esta longitud será idéntica a la diagonal de Cuadrado de lado el menor de dicho rectángulo [B-U, en la ilustracion] o el segmento que une uno de sus vértices con el punto medio del lado opuesto [B-H].

SE podrá afirmar, de igual modo, que la diagonal (B-D1) en el rectángulo √3 equivale a una longitud de √5, y será idéntica a la longitud del segmento que una un vértice con el punto medio del lado opuesto [B-T, en la ilustración].

• Rectángulos irracionales

Rectángulo áureo, tiene como lados la unidad y el número de oro. Para obtener la longitud áurea, se dividirá el lado del PB de partida en dos partes iguales, que se tomará como diámetro del círculo que contiene a los vértices correspondientes. La recta que parte del vértice opuesto y contiene a dicho centro (puntos medio del lado opuesto) corta al círculo según proporción áurea (0,618 y 1,618) que se podrá utilizar como lado mayor del rectángulo buscado.

En la parte inferior de la misma ilustración se expone una secuencia de cuatro fases, que explica la construcción del rectángulo que explica el texto.

Rectángulo π, tiene como lados la unidad y el número de π. La dificultad de obtener una longitud exacta del número irracional π (3,1416…) aconseja emplear la rectificación de una circunferencia, cuya longitud es dos veces el radio por pi (π), y aprovechar la longitud gráfica de π.
Se aconseja emplear el método Kochavsky para la rectificación de la semi-circunferencia y duplicar después la longitud obtenida. Se duplican los errores para se simplifican los trazados.

Rectángulo cordobés, empleado por los arquitectos de la Mezquita. Su trazado es muy curioso. Se parte de un PB (A-B1-C2-D1) que se transforma en Rectángulo √2, con la obtención del vértice B que señala la longitud del segmento [A-B] Con centro dicho vértice y radio la distancia [B-C1] se trazará un arco que cortará a la perpendicular levantada por B en el vértice C buscado.

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