©Álvaro Rendón Gómez, marzo 2011

En el 2003 elaboré una Geometría paso a paso, volumen I, que tenía por subtítulo: Elementos de Geometría Métrica y sus aplicaciones en Arte, Ingeniería y Construcción; es decir, trataba toda la geometría plana de un modo didáctico. Sin perder el rigor científico que una obra de esta envergadura debe asumir, la exposición y resolución de los contenidos teóricos y resolución de casos se ejecutaron de modo didáctico e innovador. Sus 568 páginas y más de 4.000 dibujos demuestran que no se escatimó esfuerzos para hacer entendible y asequible una materia que se hace intragable para muchos.
Los escasos ejemplares que se editaron en Tébar/Madrid se agotaron en apenas unos meses del 2000, sin que hubiera una reimpresión o reedición. No obstante, siguen en el Catálogo de esta editorial, aunque se encuentra en una situación de agotado y los contratos expirados desde hace varios años.
Me consta que numerosos estudiosos y amantes de la Geometría Métrica demandan actualmente aquellos ejemplares que me niego a esta editorial vuelva a publicarlos. Como los derechos, después de este tiempo, siguen siendo del autor, he pensado en publicarlos por mi cuenta y riesgo.
No soy editor y mi experiencia en este sector de mercado se ha limitado a hacer presentaciones y recomendaciones de la obra que escribí y dibujé; además, no dispongo de patrimonio para mandar imprimir y esperar que se empolven en los almacenes de distribución o en las estanterías de las Librerías.
El único modo de que profesores, estudiantes, interesados y amantes de la Geometría Métrica puedan disponer de ejemplares de esta edición única sería haciéndome llegar su interés en adquirirla. Sería un procedimiento sencillo que no exigiría desembolso inicial; únicamente dejaría sus datos personales: Nombre, apellidos, dirección postal completa donde desearía recibir los ejemplares a contrareembolso y una dirección de correo electrónico para mantenerlo informado de los plazos.

El volumen se imprimiría a una sola tinta, en formato 210 x 265 mm, con portada flexible a todo color, encuadernado en librillos cosidos y encolados al lomo. He pedido presupuestos. Oscilan entre 18 € y 25 € que con el IVA y los gastos se podría en unos 35 €/ejemplar; es decir, unos 65-75 € los dos. Me supongo que, de imprimirse más ejemplares por tirada, los costos tendrán que bajar. Por tanto, reserva tu ejemplar o ejemplares en alvarengomez@gmail.com; en cuanto alcancemos la cifra de 500 interesados me pondré en contacto con todos para confirmar el precio definitivo, que siempre será menor al expuesto anteriormente, e indicarles dónde y cómo realizar el ingreso. Mientras, bastará con que envíes un correo con la reserva. Gracias.

Utiliza este mismo correo para hacerme llegar tus observaciones y comentarios; así como si  desea recibir un pdf con algunas de las páginas que encuentre interesantes.

A continuación expongo algunas páginas de esta Geometría Métrica, paso a paso, que iré comentando muy sucintamente. Si deseas ampliar el tamaño de las páginas del libro clikea una vez sobre la ilustración correspondiente. Gracias.

• Se muestra de manera clara y contundente el correcto empleo de la Escuadra y el Cartabón en el trazado de lugares geométricos: Mediatrices, Bisectrices, ángulos, etc.

• Cada caso se explica en fases o pasos, desde un primero con los datos, hasta los desarrollos  solución. De manera que el Alumno no se confunde de líneas al seguir las explicaciones escritas. Obsérvese cómo se ha explicado el trazado de una curva-Bisectriz a un ángulo mixtilíneo, en dos fases o pasos. Asó como, el trazado de ángulos de 15° en 15º, con la ayuda de las plantillas de dibujo:

• No se han escatimado esfuerzos en el análisis de las líneas y puntos notables de todos los triángulos-tipos. El ejemplo que incluimos en la página siguiente, muestra el análisis de líneas notables en un triángulo Escaleno:

• Además de las líneas y puntos notables que se puede hallar en cualquier libro de geometría en este se incluyen otras líneas notables: Recta de Simpson, de Wallis, punto de Menelao, segmentos de Brocard, puntos isotómicos, isogonales, punto de Euler, de Feuerbach, etc., en cada tipo de triángulo. En el ejmeplo siguiente se ha aplicado a un triángulo Escaleno:

• Los análisis de triángulos-tipos incluyen ejemplos de resoluciones según se den lados, ángulos, líneas notables, etc. como se muestran en las páginas que mostramos a continuación:

• Idéntico tratamiento pormenorizado y riguroso reciben los análisis a Cuadriláteros; a los que siguen muchos ejemplos de resoluciones destacadas, dependiendo de los datos, y todo ello con el mismo tratamiento por fases del desarrollo o pasos:

• Ningún estudio sobre Geometría trata con tanta extensión y profundidad a los Polígonos regulares como en este volumen de Geometría Métrica. Una muestra de esto que decimos son las páginas de ejemplo que incluimos a continuación:

• El capitulo 3 de este volumen de Geometría Métrica se dedica a las “Relaciones métricas en el Plano”, que incluye apartados tan interesantes como razón y proporcionalidad (medio proporcional, tercero proporcional, cuarto proporcional, medio armónico, sección áurea y operaciones de producto y división proporcional de segmentos con números fraccionarios e irracionales), igualdad, escalas y figuras escalares, así como la Geometría de la relación:

• El Capítulo 4 trata sobre las relaciones métricas en el Círculo, analizando y operando con todos los elementos de una Circunferencia (líneas, puntos y porciones notables; ángulos, perpendicular y oblicua a una Circunferencia, Arco Capaz, Rectificación), Potencia, Eje y Centro Radical, Haz de Circunferencias y Polaridad.

• Las Transformación geométricas en el plano, se tratan en el capítulo 5  que abre con un Cuadro-resumen de Transformaciones, donde se resumen todas las transformaciones que hallará el Alumno desarrolladas en el capítulo (Isomerías -acordes y discordes-, Semejanza, Afinidad e Inversión).

El Cuadro resumen que se expone a continuación trata sobre producto de transformaciones:

• Las Transformaciones por Homología o por Afinidad son tratadas de un modo tan gráfico que su aprendizaje no ofrece dudas:

• En el apartado dedicado a Inversión se muestran construcciones de artefactos curiosos utilizados para hallar puntos inversos, como el Inversor de Peaucellier o el de Hear:

• Un apartado que igualmente se ha desarrollado con profusión de ejemplos es el que trata sobre Equivalencia:

• Como viene siendo habitual, dentro de la metodología didáctica aplicada en el volumen que mostramos, antes de desarrollar el capítulo dedicado a Tangencias, se muestra un Cuadro general de casos de tangencia, donde se sugieren los procedimientos de resolución (en lenguaje criptográfico, cuyas directrices se dan en los Apéndices de este mismo volumen) dependiendo de los datos y de la situación de estos:

• Uno de los capítulos más completos de este volumen I de Geometría es, sin dudas, el 7, dedicado a Curvas; porque, además de analizar una gran número de ellas, expone su construcción, se le trazan tangentes (cuando la curva se presta) y se muestran tipos. 

• Con aplicaciones en construcción de piezas industriales:

• Motivos decorativos:

• Curvas de rodadura y sus aplicaciones al cálculo de excéntricas y levas, engranajes y tornillos, etc.:

• Y, finalmente, su aplicación al dibujo de Construcción, comenzando por los órdenes clásicos:

• Y acabando con trazados de Arcos para vanos y puertas:

• El volumen se completa con interesantes Apéndices, como el que se expone a continuación, un Cuadro-resumen general de todo lo tratado en el libro, con sugerencias de niveles de aplicación, en lo que le hemos denominado “Itinerarios didácticos”, que sirven de orientación al profesorado y al Alumno libre:  

Hasta aquí la exposición de los contenidos que hallarás en este volumen. Espero que las páginas seleccionadas hayan contribuido a dar una idea aproximada de lo que es el libro. Gracias por vuestra atención y hasta siempre.

A. Los orígenes (1)

La Geometría pudo ser icónica al principio, un fiel reflejo de lo que representaba, llegando a una representación fidedigna de lo que el espectador era capaz de percibir visualmente de la realidad. Aunque, no fue hasta los egipcios, que la sociedad matriarcal de las primeras tribus asentadas en el delta del Nilo, Asia menor y, parece ser que en la India y China, fuese capaz de distinguir más allá de lo mucho y lo poco, lo grande y lo pequeño, lo próximo y lejano, lo de arriba y lo de abajo, lo de dentro y lo de fuera; es decir, ir más allá de las dualidades contrarias extremas, explicando el cuánto más lejos, cuánto más grande, etc. Heródoto (485-425 aC.) admiraba a los egipcios, al que les atribuye la paternidad de la Geometría, instaurada por Sesostris I, que dividió las fértiles tierras del delta del Nilo y logró así reunir a las tribus dispersas de los cuatro tigres.

Por el Papyrus Rhind, titulado Instrucciones para el conocimiento de las cosas ocultas, debido al egipcio Ahmes (2.000 aC.), se sabe que éstos poseían un conocimiento bastante aproximado del número π igual a (8/9)2. Y el Papiro de Moscú, de una antigüedad aproximada al siglo XIII aC. se muestra a un pueblo capaz de proyectar obras de ingeniería y arquitectura, levantar enormes pirámides, confeccionar extraordinarios objetos decorativos, fabricar muebles y juguetes, etc. Existía un equivalente al ángulo, conocían la descomposición de figuras geométricas compuesta de otras más sencillas, y podían calcular el área de figuras rectas y de algunos volúmenes.

Más anterior aún -del V, ó del IV, milenio- es el gráfico pétreo que recoge el plano de una fortaleza, atribuido al diseñador Gudea, en Mesopotamia. Hacia el segundo milenio, (1800 – 1500 a.C), con la invasión de los persas, al asentarse la sociedad en Agäis, desarrollarán obras hidráulicas, construirán diques y canales, y serán capaces de realizar mediciones exactas de terrenos de regadíos. A los mesopotámicos se debe la división exacta de la circunferencia en seis partes iguales, de donde tomaron el sistema sexagesimal de medición. También de ellos es el cálculo de terraplenes con perfiles trapezoidales en el que eran verdaderos expertos. También lo fueron en la construcción de tabiques de ladrillos con formas de anillo, y en la adopción de cimientos para levantar templos. Es decir, los geómetras mesopotámicos demostraron conocer la proporcionalidad en los triángulos, lo que implica el empleo del teorema de Thales, el valor de la cotangente, la inclinación de un terraplén y el de π [π = 3 • 1/8]

B. Período Jónico

Mileto es, sin duda, la primera ciudad-estado que buscará la primera sustancia (arjé) sin recurrir a la religión, a los mitos o a la magia. Anaximandro, Anaxímenes y el mismo Thales, basándose en hipótesis y conclusiones, asentarán las bases de la futura geometría axiomática.

Thales predijo el eclipse de Sol del 8 de Mayo del año 585 y calculó la altura de una pirámide a partir de la sombra que proyectaba. Se le atribuyen varios teoremas: El de la suma de los ángulos de un triángulo igual a dos rectos, y el de las paralelas, el más conocido, que dice: dos rectas concurrentes producen segmentos proporcionales en un sistema formado por rectas paralelas entre sí.

Los atomistas, de orientación materialista, como Leucipo, Demócrito de Abdera o el propio Hipócrates de Quíos, designaron al arjé como átomo, o número entero, o medida de todas las cosas.

De Demócrito se conservan cuatro obras: Sobre el contacto de círculo y esfera, Sobre Geometría, Sobre los Números, y Sobre las extensiones. Viajó por Egipto, Persia, Babilonia, la India y Etiopía, se le atribuye la invención de la bóveda, e investigó sobre la perspectiva escenográfica. También escribió acerca de las relaciones existentes entre las longitudes de las cuerdas y los sonidos/tonos que producen al vibrar.

Los Elementos de Hipócrates fue la primera obra que recoge los conocimientos geométricos hasta esos momentos. Emplea el esquema de hipótesis, teorema y demostración de modo sistemático; siendo, también, el primero en utilizar una nomenclatura específica para representar las figuras geométricas por letras: Puntos, segmentos, superficies, etc. El mismo Euclides copió los contenidos de los elementos de Hipócrates en los libros I, II, III y IV. Hipócrates fue un genio: conocía la relación entre ángulos inscritos y los arcos -arcos capaces- construyendo hasta cinco tipos distintos de lúnulas equivalentes al área de un Cuadrado; sabía construir el hexágono regular, la circunferencia circunscrita a un triángulo -hallándole su circuncentro-, y conocía que las áreas de las figuras semejantes guardan la misma proporción que los cuadrados de sus respectivos lados. Con anterioridad a Pitágoras conocía las generalizaciones de su famoso Teorema para triángulos no-rectángulos -agudos y obtusos-; y podía transformar cualquier Polígono en un Cuadrado de igual superficie.

C. Escuela Pitagórica

Pitágoras basó su famoso teorema en conocimientos que adquirió posiblemente en Babilonia. Demostró que la suma de los ángulos de un triángulo equivale a dos rectos -180°-. Conocía la existencia de los Poliedros que después difundiría Platón, de los que recibieron su nombre [figuras platónicas].

Hiparco de Metaponto, discípulo del maestro, fue tomado como ateo [y, consiguientemente, expulsado de la Escuela] al exponer en público que la esfera del universo estaba constituida por doce pentágonos, en clara alusión al dodecaedro platónico. A Hiparco se debe el descubrimiento de los segmentos inconmensurables al relacionar las diagonales del Pentágono con los lados tanto del Pentágono convexo, como del resultante interior .

D. Período ateniense

Platón representa el idealismo en Geometría. Fundó la Academia (su discípulo Aristóteles fundaría el Liceo, y Epicuro el Jardín), y se cree que estuvo vinculado a la escuela pitagórica a través de su discípulo Teeteto. Sostenía que la representación geométrica que se hace de los elementos geométricos es inexacta, y que sólo el pensamiento abstracto, la idea que nos evoca la comprensión del elemento en sí, es capaz de corregir las inexactitudes de su representación. Cuando se divide una circunferencia en cuatro partes iguales, mediante dos diámetros perpendiculares, el ángulo que forman sus diagonales es recto. Los lados del cuadrado que se formaría al unir los cuatro puntos equidistantes y concíclicos, puede que sea de 89°30’, o de 91°, o acercarse a los 90° con una concreción de (-1”); en cualquiera de los casos la inexactitud del cuadrado jamás se acercará a la idea de cuadrado geométrico, aunque la inexactitud no sea apreciable. A la escuela platónica se debe el estudio de las curvas más complicadas, como el Cuadratiz, debida a Hipias, el concoide, el cisoide, etc. Fueron sus representantes más destacados, el anciano Teodoro de Cirene que delineó una asombrosa teoría de los cuadrados en presencia del propio Platón, el joven Eudoxo de Cnido, el amado Teeteto, y el anteriormente citado Hipias.

E. Período helenístico

Alejandría, en la desembocadura del Nilo, y su famoso Museo, se convertiría en un foco cultural de primera magnitud. Pertenecen a este período eminentes geómetras, como Euclides, Eratóstenes, Arquímedes, Apolonio, Herón, Ptolomeo y Diofanto.

Euclides, sin duda el más célebre geómetra de todos los tiempos, escribió trece libros donde registró los avances en la materia hasta su época. Estos Libros los agrupó bajo un mismo título, Elementos, en los que incluyó estudios sobre planimetría (Libros I, II, III, IV, V y VI), teoría de números (Libros VII, VIII y IX), teoría de irracionales (Libro X) y sobre estereometría (Libros XI, XII y XIII).
Los cuatro primeros Libros, referidos a los elementos geométricos y Polígonos regulares inscritos y circunscritos, parece ser que procedían del Período jónico, concretamente a los conocimientos transmitidos oralmente, muchos de ellos filtraciones de las doctrinas acerca del número de Pitágoras. El Libro V, que contiene la extensión de la teoría de las magnitudes a los irracionales, es de Eudoxo de Cnido; el VI, de las proporciones, aplicada a la planimetría, de varios autores y de ninguno en concreto (Thales, Teodoro, el propio Pitágoras, etc.). Los Libros VII, VIII, IX y XI, es también del período jónico. De Teeteto son los Libros X y XII. Finalmente, el Libro XIII, de Eudoxo de Cnido.

La estructura general de los Elementos se fundamenta en descripciones, definiciones, postulados y axiomas, hasta crear un entramado geométrico único, en el que sólo es posible un tipo de espacio: el plano.
De todos los axiomas, el más discutido fue el quinto, denominado de las paralelas, que estuvo tentado durante mucho tiempo de convertirse en un teorema sin poder lograrse debido a que no tiene demostración. Por ello, existieron geómetras que, al no aceptarlo como postulado, abrieron la puerta a otras geometrías denominadas no-euclídeas.

Euclides también escribió Sobre la descomposición de figuras, Porismas, o proposiciones con las que se puede encontrar algo; Pseudaria, sobre razonamientos falsos; los Dedomena (datos), muy interesantes, investigan qué puntos de una figura y qué características tienen en cuanto a tamaño, posición, etc., partiendo de determinados datos .

La Cuadratura de la Parábola, de Arquímedes, o De la Esfera y el cilindro, Sobre concoides y esferoides, Sobre espirales, El libro de la lemnata, La construcción de los heptágonos regulares, Sobre sólidos semirregulares, etc., etc., son algunas de sus más famosas obras. De ellas, y quizás porque su redescubrimiento se haya producido con relativa proximidad (1906), su Tratado del método, que versa sobre las proposiciones deducibles mecánicamente, es el más famoso.

Apolonio de Pérgamo escribió ocho libros que tituló genéricamente Cónicas. En ellos es el primero en mostrar un método para generar uniformemente estas curvas a partir de secciones planas a Conos. También desarrolló un modelo del universo mediante la construcción de mecanismos basados en excéntricas y epicicloides, con el que demostró la teoría circular platónica del movimiento de los planetas.

El Almagesto, -que significa en árabe, la gran síntesis-, de Ptolomeo, en el que sostiene la teoría de considerar la Tierra como el centro del universo, es un maravilloso libro donde, además, se intenta una demostración del V postulado de Euclides y una trigonometría plana y esférica.

En Los Elementos, de Herón de Alejandría, los principios se exponen recurriendo a casos prácticos, en contraste con los de Euclides. De manera que, si los primeros desarrollan una geometría idealista, platónica e incluso pitagórica, este la hace mediante aplicaciones prácticas, en un intento de volver a los orígenes de la geometría, que significaría un lamentable paso atrás.

El Teorema de Pappus de Alejandría, contenido en su grandiosa obra titulada Colletio es el precursor de la geometría proyectiva, al proponer que si sobre dos rectas, paralelas o concurrentes, se toman tres pares de puntos cualesquiera en ellas, los puntos de intersección de las rectas que los unen son colineales de otra, (Figura Teorema de Pappus).

F. El Feudalismo oriental
F.1 La Geometría china

La obra original más copiada de la historia de China fue, sin duda, Matemáticas en nueve libros, cuyo autor se desconoce, así como la época en que pudo haberse escrito. Se conoce por la reelaboración que hizo Liu Hui en el año 363, sufriendo numerosas modificaciones hasta su impresión en el año 1.084, al convertirse en el libro oficial de ingreso al funcionariado; fue reformada, finalmente, por Quin Jiu-shao en 1247. Contiene numerosas soluciones a problemas de geodesia y agrimensura, cálculo de áreas del círculo, cuyo valor adjudicado a π oscila entre 3 y [3 • 3/8].

Espejo marino de las medidas del círculo, escrita en 1248 por Li Ye, Precioso espejo de los cuatro elementos, de Zhu Shi-jie, escrito en 1303, completan lo que se dispone de la Geometría China.
F.2 Geometría en India

La cultura india, de transmisión oral, dificultó enormemente la investigación del origen de la Geometría en esta sociedad de evolución rápida y próspera desde sus primeros asentamientos en la cuenca del Indo. Los hindúes conocían numerosas construcciones: cuadrados, rectángulos, triángulos, círculos, conos, cilindros, etc.; sabían calcular áreas con extraordinaria habilidad, empleando los conceptos de semejanza y proporción, como puede ser constatado en los magníficos entrelazados que ornan las decoraciones de templos y pagodas; y podían dividir segmentos en partes iguales o proporcionales, aplicando una operación muy parecida a la del Teorema de Thales.

Estos conocimientos han llegado a nosotros a través de las escrituras religiosas, como los Veda y el Sura-Sutra, o reglas de cuerda, instrucciones geométricas para poder construir altares con el sólo uso de cuerdas y palillos de bambú que se fijaban al suelo a modo de estacas; demuestran los sólidos conocimientos geométricos que poseían: podían calcular el área de figuras poligonales y el volumen de la pirámide y del tronco de pirámide, empleando una medida aproximada para el número π [π = 3 • 1/6], (19).

F.3 Islam

Al-Jwarizmi y, sobre todo, Tabit b. Qurra en su trabajo Sobre las demostraciones geométricas en problemas de álgebra (siglo X), recurren a la geometría para probar la exactitud de las soluciones algebráicas y no dudan en emprender una aritmetización de los Elementos de Euclides, basándose en la Aritmética de Diofanto; así como impulsa la demostración de la teoría de la paralelas, lo que significa el primer intento de concepción de una geometría no-euclídea, debida, sobre todo a Al-Maytam, Al-Jayyam y Al-Tusí.

El Tratado sobre el cuadrilátero completo (1260), de Nasir al-Din al-Tusí, incorpora la determinación de los triángulos oblicuángulos dados tres lados o tres ángulos. Al-Kasi ajustó, finalmente, el valor de 2π hasta dieciséis decimales.

F.4 Feudalismo europeo

La caída del Imperio romano trajo consigo hambre y caos económico, pasando a las aldeas rurales el control de la economía que volvió a convertirse en agraria y natural, y el nacimiento del feudalismo como modo de dominación, entre los siglos V y XI. La característica fundamental es la absoluta dependencia del campesino al señor, del que recibe protección frente a otros señores feudales a cambio de trabajo y cosechas.

La cultura y el saber se convirtieron en enemigos de la religión dominante. Tertuliano tachaba a la filosofía de ser origen de herejía, fusionando los conceptos de conocimiento y creencia.

Sólo una excepción: La corte de Carlomagno, del 800, destacando la insigne figura de Alcuino, natural de York, quien redactó unas Propositiones ad acuendos juvenes, donde se exponían saberes romanos sobre áreas, en construcciones muy poco rigurosas.

G. Escolástica

Hasta que se iniciara en Italia el resurgir de la cultura clásica, entre los siglos XII y XIII, la Iglesia se percató que el saber era necesario para el mantenimiento del orden, lo que originó que obligase a ciertas órdenes religiosas su desarrollo y cultivo. Comenzó a exteriorizarse con las escuelas catedralicias, terminando en la instauración de Universidades, en donde se impartían la totalidad de los saberes -universitas-, agrupados, como se sabe, en el trivium: gramática, retórica y dialéctica; y el quadrivium: aritmética, geometría, astronomía y música, cuyas enseñanzas y conocimientos, sobre todo en geometría plana y estereometría, no pasaron de ser muy elementales, significando un claro retroceso a lo conseguido anteriormente.

Hasta que, Leonardo Fibonacci de Pisa, en 1202, no publicara el Liber abaci (Libro del ábaco), no se dio un claro avance en el cálculo con cifras y un impulso al saber emanado de la burguesía: la nueva clase social emanente integrada por comerciantes, banqueros y libre pensadores, iniciándose un desplazamiento del saber hasta entonces en manos del clero y de la Iglesia.

H. Renacimiento

Esta burguesía, interesada en la economía, impulsó los saberes de la antigüedad considerada como una época dorada, y el renacer de la cultura clásica, en la que el hombre y sus intereses ocupaban el centro de sus preocupaciones y esfuerzos.

La divulgación de los escritos de Arquímedes, Ptolomeo, Euclides, Apolonio o Diofanto, mediante una revolucionaria máquina de hacer copias, inventada por el orfebre Gutemberg, favoreció este resurgir.

La obra De Revolutionibus, de Nicolás Copérnico, que sustituye la visión geocéntrica por la heliocéntrica, corroborada por los escritos de Galileo y Cavalieri en el siglo XVII, dio un impulso a este interés por la astronomía, la trigonometría plana y la trigonometría esférica.

En Geometría, la representación en profundidad de los diseños de fortificaciones, por el progresivo poder de destrucción de la artillería, puso en cuestión las antiguas representaciones planas, poniendo en marcha la búsqueda de una Geometría Descriptiva, cuyo punto de partida serán las soluciones dadas en las artes liberales -pintura, grabado, escultura, etc.-

Viena es el ejemplo de este amor por la astronomía, pues en ella se creó una de las más importantes escuelas astronómicas de los siglos XIV y XV, la de Regiomontano que entre 1462 y 1464 escribiría De triangulis omnimobis libri quinque, que significó la definitiva liberación de la trigonometría plana y esférica de la astronomía. Un siglo más tarde, los avances de Regiomontano serían seguidos por Vieta (siglo XVI), creador de la goniometría y de la ciclometría, en su búsqueda de la exactitud de π, en un intento por cuadrar el círculo.

Pero el problema geométrico más acuciante del Renacimiento fue el de representar científicamente figuras del espacio. Artistas como Giotto, van Eyck, Brunelleschi y Leon Batista Alberti, superaron algunos de los problemas más inmediatos, pero se quedaron en intentos ópticos. Leonardo da Vinci escribió Perspectiva, resumen de otros escritos anteriores, del que no se dispone de copia al perderse, y Luca Pacioli, Proportio Divina -divina proporción- de notable éxito. En 1500, Durero editó un texto para artistas, artesanos e ingenieros que tituló Enseñanza de la medida con regla y compás; dos años después, otro, sobre fortificaciones, titulado Algunas instrucciones respecto a la fortificación del castillo y la aldea circundante; y algunos años más tarde, una teoría sobre el canon de belleza en la figura humana.

I. La revolución cultural

El largo Período comprendido entre los siglos XVI y XVIII representó el cambio social del feudalismo hacia el mercantilismo, después de numerosas guerras y revoluciones que zarandearon la vieja Europa. Es la época de las agrupaciones científicas y el de la fundación de numerosas Academias. Sir Francis Bacon inspiró la creación de la Royal Society británica con su libro Nova Atlantis. En Francia, su homónima se denominó Academia de París; y en Alemania, la Academia Leopoldina, actualmente en Halle.

La concepción geométrica también sufrió importantes cambios en su algebrización, iniciada por Al-Jwarizmi. Esta nueva Geometría se inicia con Fermat y Descartes, y tendrá su máximo desarrollo de contenidos y métodos en el siglo XIX. En realidad, ya hubo antecedentes anteriores en Hiparco y Ptolomeo, que representaron lugares y superficies recurriendo a un sistema integrado por latitudes y longitudes; o en el mismo Herón cuando empleó algo que denominó lineae ordinale. Hay otros ejemplos anteriores, como el modo en que los romanos desplegaban sus campamentos: componiendo una cuadrícula ajedrezada; lo que permitía una localización racional de cualquier tienda. Ahora bien, como precursor real de la nueva Geometría analítica se considera al obispo de Lisieux, Francia, Nicolás Oresme, que introdujo en su obra Teoría de las latitudes de las formas, una situación de los objetos en movimiento mediante dos elementos: al primero le denominaba basis, extensio o longitudo; perpendicular a éste situaba la latitudo o intensio, obteniendo figuras -figurae o formae-; sólo que, estas figuras representaban movimientos y no formas geométricas reales.

René Descartes, en 1637 publicó anónimamente -por miedo a la Inquisición- su Discurso del método, que, en principio, se refería a tres teorías: de las radiaciones, de los meteoros y fenómenos atmosféricos y a la geometría; representando implícitamente, el nacimiento de la geometría analítica. En ella distinguía dos tipos de problemas: los determinados, encaminados a resolver ecuaciones algebráicas por medio de una construcción geométrica; y los indeterminados, que resolverían los problemas de lugares geométricos o la ecuación de una curva, o que dependían de variables.

Pierre de Fermat, abogado de Toulouse, en su Ad locos planos et solidos isagoge, o, Introducción a los lugares geométricos planos y sólidos, llegó a las mismas conclusiones que Descartes pero por otra vía. El desarrollo posterior de esta nueva geometría sería lento y difícil. El trabajo de Fermat circuló en copias hasta 1679 en que se publicó; mientras, el Discurso del método fue incluido en el Indice de obras prohibidas por la Iglesia.

En el siglo XVI, el algebrista von Schooten publicó La Geometría adoptando la geometría analítica de Descartes; Newton, en 1676, empleó el sistema de coordenadas que denominó cartesiano; y Euler, en su Instrucción al análisis de las magnitudes infinitamente pequeñas, de 1748, amplió sus principios. Pero el término de geometría analítica habría que esperar a que Lacroix lo emplease en Cours de Mathématiques, en 1769; mientras que la instauración definitiva se realizó durante el XIX de la mano de geómetras como Moebius, Grassmann, Jacobi, Caysey y otros.
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(1) Esta Breve Historia se publicó en “Geometría paso a paso”, de Álvaro Rendón Gómez, ed. Tébar, Madrid

Ahora os quiero hablar del volumen II de Geometría paso a paso, que trata sobre la Geometrías Descriptiva y Sistemas de Representación. Si observáis detenidamente las ilustraciones que incluyo de algunas de sus 1090 páginas os percatáis que cada caso está tratado en una doble página (izquierda y derecha) y en cinco sistemas a la vez: Acotado, Diédrico, Isométrico, Caballera y Cónico; de manera que la visión del problema y su solución se contempla desde muchos aspectos. Así, el caso se expone en el espacio mediante una representación convencional, se plantea y se resuelve en Acotado, en el que, como se sabe, se parte de una vista en planta y alzado, sustituyéndose la segunda por un número o cota; es decir, demasiado abstracto y conceptual para que un Estudiante que empieza pueda visualizarlo en el espacio, pero que, a medida que avanza, pasando al Diédrico y los otros tres sistemas más gráficos y representativos, va desarrollando la visión espacial necesaria para su preparación como Ingeniero, Arquitecto, Pintor o Escultor. Este tratamiento global nunca antes se había desarrollado de esta forma tan clara y rotunda.

El volumen se imprimiría a una sola tinta, en formato 210 x 265 mm, con portada flexible a todo color, encuadernado en librillos cosidos y encolados al lomo. He pedido presupuestos. Oscilan entre 18 € y 25 € que con el IVA y los gastos se podría en unos 35 €/ejemplar; es decir, unos 65-75 € los dos. Me supongo que, de imprimirse más ejemplares por tirada, los costos tendrán que bajar. Por tanto, reserva tu ejemplar o ejemplares en alvarengomez@gmail.com; en cuanto alcancemos la cifra de 500 interesados me pondré en contacto con todos para confirmarles el precio definitivo, que siempre será menor al expuesto anteriormente, e indicar dónde y cómo realizar el ingreso. Mientras, bastará con que envíes un correo con la reserva. Gracias.

Utiliza este mismo correo para hacerme llegar tus observaciones y comentarios; así como si  desea recibir un pdf con algunas de las páginas que encuentre interesantes.

A continuación expongo algunas páginas de esta Geometría Métrica, paso a paso, que iré comentando muy sucintamente. Si deseas ampliar el tamaño de las páginas del libro clikea una vez sobre la ilustración correspondiente. Gracias.

Los contenidos que tratan son los siguientes:

• Volumen II, tomo I

• Tema 1. Proyectividad

• Tema 2. Fundamentos de los Sistemas descriptivos
• Tema 3. Representación y alfabeto de elementos simples
• Tema 4. Modificación de la forma, del tamaño o de la posición

• Volumen II, tomo II

• Tema 5. Superficies. Representación y análisis
• Tema 6. Desarrollos y Transformadas
• Tema 7. Intersecciones de Superficies
• Tema 8. Teoría general de Sombras
• Tema 9. Teoría general de Reflejos

• Apéndices

• Definiciones de términos de uso más frecuente en los Sistema de Representación
• Itinerarios
• Bibliografía General
• Lenguaje criptográfico aplicado a los sistemas de Representación
• Signaturas, Abreviaturas y Nomenclaturas
• Esquemas, Resúmenes y Cuadros

• Antes de abordar los casos se exponen los Fundamentos de los Sistemas de Representación, de la mayoría de los sistemas empleados en muchas disciplinas: Ingeniería, Arquitectura, Arte, Topografía, Geodesia, Escenografía, Decoración, etc.

• Como se puede apreciar, los contenidos se exponen con el mayor número de puntos de vista posibles, con el fin de lograr una respuesta de calidad comprensiva. Esta exposición permite una reconstrucción mental del caso en el espacio en un tiempo mínimo, porque utiliza de una vez muchos recursos gráficos. Así, con un simple golpe de vista se puede ver un mismo contenido resuelto en los cinco sistemas; respetando la idea de espacio global, amplia y compensada que sólo la Geometría es capaz de dar. El modo de exposición empleado no solo muestra procedimientos o condiciones de resolución, sino que motiva al Estudiante a indagar y a relacionar unas soluciones con otras, pues el Alumno tiene la oportunidad de visualizar cada Sistema en un lugar prefijado de la página, siempre el mismo. En las páginas pares aparecen los sistemas Acotado, Diédrico e Isométrico; en las impares, Caballera y Cónico. Resulta más fácil así la yuxtaposición de las soluciones dadas en un sistema y en otro, completando, comparando y compensando, sin lugar a dudas, las carencias representativas de uno y los excesos de otros.

• No obstante, para no repetir los procedimientos y explicaciones en cada sistema se ha distribuido el texto común a lo largo de la doble página. El texto del Acotado introduce al Estudiante en el procedimiento de resolución comúnmente empleado que es el de transformar cualquier sistema en otro diédrico y resolverlo en él. La resolución en diédrico será, como no podrá ser de otro modo, la fundamental, enlazando todos los sistemas. La capacidad icónica que posee la proyección directa de los sistemas axonométricos [Isométrico y Caballera] se utilizará para entender posiciones, propiedades, etc. de los casos tratados enotros sistemas. El sistema Cónico, por el contrario, se emplea aquí como límite de las representaciones anteriores y, salvo en los procedimientos específicos, la resolución del caso siempre parte de la realizada en diédrico, pasando después los resultados al cónico.

• No obstante, y a pesar de este esfuerzo de síntesis, de orden y de maquetación, no se han podido resolver en su totalidad los problemas que plantea un desarrollo escalar de los Sistemas de representación. Así, resultó imposible explicar con claridad cómo dos rectas paralelas del espacio determinan un plano, por ejemplo, cuando aún no se tuvo la oportunidad de explicar las condiciones de paralelismo. Dicho de otro modo, resulta muy difícil a veces tomar una decisión acertada y convincente de lo que debe explicarse antes, si el paralelismo o la determinación de planos… Algunas de estas contradicciones han resultado irresolubles; otras han podido salvarse simplemente alterando el orden expositivo. Otro ejemplo, para explicar el concepto de distancia entre dos puntos no se esperó a conocer el cambio de plano o el abatimiento. La oportunidad surgió en el momento de exponer la idea de línea-recta del espacio, pues la distancia más corta entre dos puntos -como se sabe- es la línea recta. En todos los casos en que hubo consciencia de que una alteración del orden tradicional contribuiría a aclarar conceptos previos, se alteraron. En aquellos otros casos en los que estuve convencido de la capacidad del Estudiante para aclarar por sí mismo las dudas mediante consultas a lo incluido en páginas anteriores, o posteriores, se dejaron sin resolver, obligándole a ir de un concepto a otro guiado por las llamadas a páginas. Confío que el Estudiante encuentre divertido este proceso, o, al menos no le canse excesivamente. El buen criterio del Profesorado, con más capacidad y oportunidad que las páginas de este volumen, podrá sugerirle otros itinerarios más acordes con su idea de la Asignatura.

• A medida que se avanza, la organización de los contenidos es más gráfica y menos teórica, al tratarse de Cuerpos y Sólidos, más icónicos que las simples líneas o planos que constituirán la materia de la primera parte. Por éso, el texto queda ligeramente relegado a una narración de los aspectos no-gráficos de las ilustraciones y atiende ahora más al análisis delos elementos y a los procedimientos empleados. El Estudiante siempre estará en condiciones de consultar los procedimientos expuestos en la primera parte cuando estime conveniente o le asalte la duda sobre algún paso en especial. No obstante, siempre que hubo oportunidad se incluyeron las referencias a las páginas donde se exponen estas aclaraciones.

• El Capitulo dedicado a los Desarrollos suprime la exposición en doble página de los sistemas, limitándolos a sólo dos [Diédrico e Isométrico] a fin de aumentar el tamaño de las ilustraciones y no perder detalles. Además, qué sentido tendría un desarrollo en cónico, por ejemplo. Encontrará el lector este capítulo de Desarrollos intencionadamente incompletos, pues se dejaron los más específicos para un Volumen IV dedicado al “Sistema Diédrico paso a paso”, de inminente publicación. Se puso especial cuidado en seguir los pasos de López Pozas, Victorino González y Nieto Oñate, y se consultaron otras fuentes también expertas, como la magnífica obra de Cotant de Trazado en Calderería, cuyas referencias hallará el lector en la Bibliografía incluida en los Apéndices. La visión espacial en Isométrico de cada caso tratado contribuyó a dar una mayor iconicidad y comprensión espacial de lo que se pretendía exponer en Diédrico. Se incluyen algunos cálculos muy prácticos que encontramos en el Ranetti y que creímos necesarios exponer, explicar y ampliar aquí, respetando el contenido no así la filosofía de uso que allí se daba.

• En el Capitulo sobre Intersecciones recíprocas de Superficies la iconicidad se hace pasmosamente real, y el Estudiante podrá apreciar el esfuerzo de visualización espacial que ha venido desarrollando en los capítulos precedentes.

• Si, finalmente, las representaciones de superficies vienen acompañadas de un análisis de su Sombra propia y arrojada, la iconicidad alcanza límites de máxima expresión.

• Los Apéndices incluidos al final creo que le serán de gran utilidad al Estudiante y al Profesor, sobre todo los Índices de Recorridos, más completos que los expuestos en el Volumen I. El tratamiento dado por D. Pedro Alíaga Millán a su Atlas de nociones de Geometría publicado en 1900, y la sencillez explicativa utilizada por D. Julio Rey Pastor y D. Pedro Puig Adam en sus Elementos de Geometría, publicado en 1942, ambos dirigidos a niños de edades comprendidas entre los diez y los trece años, sirvieron de pautas para emular aquella hazaña, adaptándola a los niveles universitarios y, sobre todo, a estos nuevos tiempos. Encontrarán interesantes la continuación del Lenguaje criptográfico iniciado en el volumen I, en los que se definen los signos utilizados en los Sistemas de representación; también, el Diccionario de términos de frecuente usoen Geometría del Espacio, que amplía considerablemente el anterior de Geometría Métrica. Para una más cómoda utilización de ambos apartados se han publicado como una separata.
• La Bibliografía Básica, por otro lado, ayudará al Estudiante a conocer, completar y contrastar con otras opiniones los conceptos vertidos en las dos partes de este volumen II.

©Álvaro Rendón Gómez, marzo 2011

El volumen III de Geometría paso a paso, trata exclusivamente sobre el Sistema Diédrico, todo el sistema, explicado y desarrollado paso a paso, como en los volúmenes anteriores. En sus 627 páginas y más de 7.000 dibujos, desarrolla “todos” los alfabetos (Punto, Recta y Plano) ampliándolos con gráficos y cuadros–resúmenes. La exposición es muy icónica, como en los anteriores y, sin falsa modestia, creo que es el mejor libro sobre el sistema que existirá en el mercado. Basta con que le eches un vistazo a las ilustraciones de ejemplos de páginas.

• El volumen se imprimiría a una sola tinta, en formato 210 x 265 mm, con portada flexible a todo color, encuadernado en librillos cosidos y encolados al lomo. He pedido presupuestos. Oscilan entre 18 € y 25 € que con el IVA y los gastos se podría en unos 35 €/ejemplar. Me supongo que, de imprimirse más ejemplares por tirada, los costos tendrán que bajar. Por tanto, reserva tu ejemplar o ejemplares en alvarengomez@gmail.com; en cuanto alcancemos la cifra de 500 interesados me pondré en contacto con todos para confirmar el precio definitivo, que siempre será menor al expuesto anteriormente, e indicarles dónde y cómo realizar el ingreso. Mientras, bastará con que envíes un correo con la reserva. Gracias.

• Utiliza este mismo correo para hacerme llegar tus observaciones y comentarios; así como si  desea recibir un pdf con algunas de las páginas que encuentre interesantes.

• A continuación expongo algunas páginas de esta Geometría Métrica, paso a paso, que iré comentando muy sucintamente. Si deseas ampliar el tamaño de las páginas del libro clikea una vez sobre la ilustración correspondiente. Gracias.

©Álvaro Rendón Gómez

Únicamente 165 páginas para una joya de libro. Formato 210 x 265 mm impreso a todo color, como muestran las ilustraciones que sirven de presentación. Todo el sistema Diédrico, paso a paso, en 165 páginas y a un precio que rondarían los 30€.
Reserva tu ejemplar en el correo alvarengomez@gmail.com; en cuanto alcancemos la cifre de 500 interesados me pondré en contacto con ellos y, además de confirmarles el precio definitivo, les indicaré dónde y cómo realizar el ingreso.
A continuación expongo algunas páginas del Prontuario:

Durante todo el siglo XIV, en los albores del trescientos, los geómetras abordaron muchos problemas que obsesionaron a griegos y, en menor medida, a romanos. Además del número de oro, que cobró un extraordinario empuje a raíz del descubrimiento de la serie Fibonacci y sus innumerables aplicaciones; la duplicación del cubo; o la trisección gráfica de un ángulo cualquiera, que sería un acicate para investigar procedimientos de división de la circunferencia en partes iguales o proporcionales; sin duda, la cuadratura del círculo, o hallar un círculo equivalente a un cuadrado, significó un desafío a las vejas creencias, un reto que demostraba la independencia del hombre con las viejas creencias (Vitruvio Polión, Marco . “Arquitectura: Libros I-IV”. Madrid: Editorial Gredos, 2008). El procedimiento es muy curioso, ilustración 1.

El cuadrado dado es el ABCD. Tomando como centro el punto M, pie de la mediana vertical HM, y radio la distancia MB (igual a √5) se traza el arco que corta en O1 a su prolongación y concreta el radio del círculo equivalente. Bastará hacer centro en O y trazarlo con radio O-O1, para resolver el problema.

Obsérvese que O1 es el centro de un cuadrado especial que tiene por lado la cuarta parte del de partida y deja libre segmentos de longitudes ⅜ el lado del mayor, a uno y otro lado del mismo. El triángulo rectángulo de lados 2-3-4, sin ser diofántico, permitiría igualmente el trazado del círculo equivalente. El trazado no es exacto como cabe suponerse. Es una aproximación curiosa, de una belleza y simplicidad que merece conocerse.

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Hay muchas razones para considerar al Cuadrado como una forma básica que, junto al Triángulo Equilátero y el Círculo, completarían la Tríada de Formas fundamentales. Este artículo pretende aportar una razón más: la adaptabilidad del Plano Básico a relacionarse con todos los Polígonos regulares. Es decir, que tomando al Cuadrado como origen se deriven todos los demás polígonos. La formulación del problema quedaría como sigue: “Construir polígonos regulares que tengan por lado el de un Cuadrado dado“; que podría concretarse en “hallar los centros de las Circunferencias que inscriben a cualquier polígono regular convexo que tiene por lado el de un Cuadrado tomado como referencia”

La solución que mostramos da lugar a multitud de especulaciones que el amante de la Geometría podrá averiguar y deducir, descubriendo el carácter creativo de la disciplina. Las construcciones estarían basadas en la existencia de una relación proporcional entre el lado de un Cuadrado dado y puntos de su mediatriz; de tal modo que tomándolo como centros de Circunferencias sucesivas, permitirán inscribir Triángulos Equiláteros, Pentágonos, Hexágnos, Heptágonos, Octógoos, Eneágonos, Decágonos, etcétera. El articulo llega hasta la construcción de este último; pero permite continuar con oros, tomando como referentes los centros de las Circunferencias que inscriben a los anteriores, como tendremos ocasión de demostrar.

Así, la Figura 1, es referencial y muestra el centro de la circunferencia que inscribe al Cuadrado o Plano Básico como la conjunción de todos sus elementos relacionantes (diagonales y mediatrices), estableciendo la equidistancia necesaria para que los vértices A-B-C-D quede contenidos en dicha Circunferencia. El centro del Polígono es el centro del Círculo que lo inscribe.

En la Figura 2, el centro O de la circunferencia que inscribe a un Triángulo Equilátero de lado el del Cuadrado de partida se concreta de modo muy sencillo y directo: uniendo uno de los vértices de la base del Cuadrado (C) con el punto J, de intersección del arco de centro dicho punto C y radio la longitud del lado dado. De este modo, trazando el Círculo de centro O que contiene a los extremos B y C del Cuadrado, habremos solucionado la cuestión.

El centro del Círculo que contiene al Pentágono regular convexo, O, es el resultado de unir el punto Q, pie de la mediatriz horizontal del Cuadrado dado con el punto E, intersección con el lado del Cuadrado dl arco de centro el pie de mediatriz vertical, N, y radio el lado del mencionado Cuadrado. Obviamente, para completar el Polígono regular habrá que llevar la longitud del lado del Cuadrado dado, idéntico por construcción al del Pentágono regular a lo largo del Círculo para ir concretando sus vértices, Figura 3.

El centro O del Círculo que inscribe a un Hexágono regular convexo de lado el de un Cuadrado dado, Figura 4, es el vértice superior de un Triángulo Equilátero de lado idéntico al de los polígonos anteriores, de partida y construcción. Para construir el Triángulo Equilátero se procederá como se ha explicado en la Figura 2

La Figura 5 muestra gráficamente estas relaciones que mencionamos al comienzo del articulo. Obsérvese que el centro O del Heptágono regular –polígono de siete lados iguales entre sí–, se obtiene mediante el arco de centro el del Hexágono regular y radio la distancia del mismo al centro del Pentágono regular.

El centro O del Círculo que inscribe al Octógono regular convexo de lado el del Cuadrado de referencia, estará en cualquiera de las mediatrices del mismo. En la Figura 6 se ha tomado la mediatriz vertical que es cortada por el Círculo que circunscribe al Cuadrado. De modo que, bastará hacer centro en el del Cuadrado y trazar el arco de diámetro la diagonal del mismo.

Llevada sobre la mediatriz vertical la distancia M-5, se obtiene el centro O del Circulo que inscribe al Eneágono regular convexo -nueve lados iguales entre sí– de lado idéntico al de un Cuadrado dado, Figura 7. M-5 es la distancia que separa el pie M de la mediatriz vertical del Cuadrado con el centro 5 del Círculo que inscribe al Pentágono regular del mismo lado.

Llevada la distancia (6-5),la que separa al centro del círculo que inscribe al hexágono regular de lado el del Cuadrado dado inscrito con el centro del pentágono regular inscrito, sobre la mediatriz, se obtenía el centro 7 del heptágono regular inscrito, Figura 5. Ahora bien, llevada la distancia (7- 5) sobre la misma mediatriz por N a partir del centro 7, se obtendrá el centro 9 del círculo de radio [9B = 9C] que inscribe al Decágono regular de lado el del cuadrado de lado el dado.

La Figura 9 muestra un resumen de los centros de los Polígonos y sus relaciones. Obsérvese que a partir del Heptágono, el segmento de separación entre los centros tiende a estabilizarse. Esto, obviamente, no es geométricamente exacto porque, como se sabe, las relaciones se verán alteradas por el numero irracional π.

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La existencia de los poliedros regulares se conoce por Platón. En su Diálogo con Timeo, también titulado, “Sobre la Naturaleza”, asegura que son cinco y sólo cinco. Los cuatro primeros simbolizan a los cuatro elementos (fuego, tierra, aire y agua) y el quinto, la síntesis de todos, el símbolo general del universo.

Proclo, en sus Comentarios al Libro I de Los Elementos de Euclides, atribuía a Pitágoras la construcción de las cinco figuras cósmicas y su comparación con la cosmogonía. El posible interés de Pitágoras por los poliedros vendría de una observación infantil de las formas regulares geométricas de los minerales; puesto que, su padre, era tallador de piedras preciosas. Además, los cristales dodecaédricos de la pirita, muy abundantes en el sur de Italia, donde vivió Pitágoras tras abandonar Samos, debieron motivarlo a considerarlo como modelo del cosmos:
«Pitágoras dice que la tierra está hecha del cubo, el fuego de la pirámide [tetraedro], el aire del octaedro y el agua del icosaedro, y del dodecaedro está compuesta la esfera del todo»
Para Platón, el mundo real es una copia imperfecta del mundo de las ideas hecha por el Demiurgo:
«Ser inteligente y bueno al que le atrae la belleza y trata de recrearla. Este personaje crea en primer lugar el alma del mundo y la esfera celeste (lo hace dándole forma esférica, la más perfecta) en cuyo centro está la Tierra. Después se ocupa de la materia con la que está hecho el mundo; se compone de cuatro elementos: fuego, tierra, aire y agua. Los elementos han de ser “sólidos” (pues las cosas no solamente son planas sino que tienen profundidad) y han de ser capaces de recomponerse unos en otros. Puesto que han de ser sólidos, esto es, limitados por planos y un plano está compuesto por piezas sencillas (triángulos), el Demiurgo elige de éstos los más bellos: el triángulo rectángulo isósceles (con dos piernas — catetos— iguales, es decir, la escuadra) y el triángulo rectángulo escaleno (cojo) que posee la propiedad de tener la hipotenusa de doble longitud que uno de sus catetos (el cartabón). A partir de seis de estos últimos triángulos construye el triángulo equilátero y, con estas piezas, el tetraedro, el octaedro y el icosaedro. Con cuatro triángulos rectángulos isósceles construye el cuadrado y con seis de éstos el cubo.»
Concluye analizando las propiedades de los elementos y de los cuatro poliedros anteriores, que los átomos de tierra son cubos, los de agua octaedros, los de aire icosaedros y los de fuego tetraedros. Como le queda una última configuración regular (el dodecaedro) la asocia con el cosmos, con la quintaesencia. Estos poliedros son regulares porque,
«tienen la propiedad de dividir en partes iguales y semejantes la superficie de la esfera en que está inscrito» (Timeo 55a)
Alaba la figura del Dodecaedro, dejando para el final la explicación de sus cualidades:
«Quedaba aún una sola y única combinación; el Dios se sirvió de ella para el Todo cuando esbozó su disposición final» (Timeo 55c)
No obstante, la concepción de la idea de los cuerpos poliédricos es primitiva. Es ser humano observaría las formas que adoptan algunos cristales naturales, como la pirita, esqueletos de animales marinos como la radiolaria, etcétera. No obstante, se desconoce el origen y utilidad de estas piezas que pudieran tener una significación estética, mística o religiosa. Keith Critchlow197 descubrió algunos sólidos neolíticos con formas poliédricas, procedentes de Escocia, que se hallan en el Ashmolean Museum, de Oxford:
«Son objetos que indican claramente un grado de dominio de las matemáticas que hasta la fecha todo arqueólogo o historiador de la matemática le había negado al hombre neolítico.»
Estos sólidos a los que se hace referencia son una esfera tetraédrica neolítica, [ilustración 1], con inscripciones rúnicas lo que podría deducirse su utilización como piedra sagrada empleada en algún ritual mágico entre los celtas o como paredro de un dolmen megalítico: Tres piedras de base y la superficie superior que lo tapa, transformando el espacio interior en un ámbito restringido y mágico, mínima expresión de habitáculo del dios.

También se han encontrado un Dodecaedro etrusco, de aproximadamente el año 500 a.JC., que se conserva en el Landes-Museum, en Mainz de Alemania; así como un Icosaedro romano, conservado en Rheinisches Landes-Museum, de la ciudad de Bonn.
Para Plummer, la mística hindú asocia el Icosaedro con el Purusha, la semilla-imagen de Brahma, el creador supremo, la imagen del hombre cósmico, equivalente al antropocosmos de la tradición esotérica occidental, mientras que el dodecaedro es asociado con Prakiti, el poder femenino de la creación, la Madre Universal, la quintaesencia del universo natural. En la mitología hindú, Purusha y Prakiti son la eterna dicotomía creadora, representación mística de la dualidad geométrica entre el Icosaedro y el dodecaedro.
Diversos historiadores de las Matemáticas (Eves, 1983; Kline, 1992), por otro lado, admiten que las antiguas civilizaciones, como Egipto y Babilonia, conocían el cubo, tetraedro y octaedro, y que este saber se trasmitió a Grecia durante los viajes de Tales y Pitágoras. O bien, que los griegos hubiesen deducido su existencia por semejanza con los polígonos regulares, cuyas construcciones legítimas, con regla y compás, dominaban. Así como en el plano las formas trascendentes son los Polígonos regulares, capaces de quedar inscritos en una circunferencia. Del mismo modo, en el espacio, las figuras poliédricas cumplirían la propiedad de quedar inscritas en una Esfera.

Tetratedro regular
Es el poliedro más simple que puede inscribirse en una Esfera. Lo conforman cuatro caras, triángulos Equiláteros, iguales entre ellas. Sus seis aristas son las comunes entre pares de caras, y, sus cuatro vértices poseen un ángulo triédrico en cada uno de ellos, [ilustración 2]. Tiene la particularidad de carecer de diagonales y, en él se cumple que dos aristas opuestas se orientan ortogonalmente (en ángulo recto). Estas dos aristas son suficientes para componer un espacio tetraédrico. Así, las aristas [VA-CB], [VC-AB] y [VB-AC] son opuestas y se cruzan perpendicularmente. Se este modo, al unir los puntos medios de los pares de aristas opuestas el segmento que los unen se cortarán en un punto equidistante, denominado centro [O], centro de la Esfera que lo circunscribe y del Poliedro. De manera que, ese punto-centro es también el de intersección de las perpendiculares trazadas a las caras desde los vértices opuestos, no contenidos en las mismas. Estas perpendiculares reciben el nombre de alturas del Tetraedro.

El poliedro que se conjuga con él es otro Tetraedro, y ambos componen una serie ininterrumpida de cuerpos inscritos unos en otros, cumpliendo la propiedad de girarse a medida que diminuyen, o aumentan su superficie. De este modo, todos los posibles Tetraedros conjugados de uno cualquiera dado componen una visión de lo eterno e inconmensurable que debieron inspirar a debieron a los geómetras egipcios para construir la gran Pirámide. El habitáculo para eternidad del Faraón debía ser un edificio cuya percepción completa sea imposible; es decir, sea inabarcable con la vista. Como ocurre con la eternidad, que no puede siquiera imaginarse. Un observador situado al pie del monumento sólo captará su gigantesca mole, un montículo de arena202 que lo sobrepasa y, al mismo tiempo, lo empequeñece. La visión de esa colosal montaña de bloques lo supera en miles de veces. La gran Pirámide sería considerada así como el símbolo constructivo de la eternidad.
Esta forma poliédrica la hallamos en algunos cristales, formando parte de sus estructuras vitales. Así, la molécula del metano, cuya fórmula admite un átomo de carbono y cuatro de hidrógeno, obliga al carbono a situarse en el centro geométrico del poliedro y los cuatro átomos de hidrógeno en cada uno de los vértices del Tetraedro.
A pesar de ser el poliedro más simple y el formado por el menor número de caras, no se emplea en la industria del envase por no ser rentable. Ahora recuerdo que hubo un envasador de zumos que empleó como contenedor de sus productos un Tetraedro regular. También recuerdo lo complicado que resultaba darle un sitio en el frigorífico, porque ocupaba mucha superficie en la base y dejaba, en cambio, mucho hueco libre por arriba. Además, resultaba incómodo asirlo para servirse. Comparándolo con el poliedro que sigue, los números no miente: Para que un envase tetraédrico contenga un litro de líquido sería necesario un desarrollo plano de 7’2 dm2; mientras que 6 dm2 serán suficientes para contener el mismo volumen en un envase cúbico, hexaédrico.

Hexaedro o Cubo
Está formado por seis caras, cuadrados, iguales entre sí, recibe el nombre de Hexaedro, [ilustración 3]. Tiene doce aristas, las comunes entre pares de caras, y ocho vértices, los puntos de encuentro de tres caras, conformando entre ellas un ángulo triédrico en cada uno de ellos de 270°, suma de los tres ángulos rectos de las tres caras cuadradas [90º + 90º + 90° = 270º].
Las cuatro diagonales que unen pares de vértices opuestos del poliedro son también ejes fundamentales.

Se cortan entre ellos en un punto-centro [O] de la Esfera que inscribe al del Poliedro. Por otro lado, los segmentos que unen los puntos medios de dos aristas opuestas son de longitud idéntica a la de las diagonales de cara, y se cortan, igualmente, en el centro [O] del Poliedro. Y, por último, los segmentos que unen los centros de dos caras opuestas, [1-3], [4-2] y [5-6], se cortan también en el centro [O] del Poliedro.
La tercera cámara del primer Templo de Salomón, el Kodesh HaKodashim o Santo de los Santos, adoptó la forma cúbica. Como se recordará, debía medir veinte codos de lado. Es, también, cúbica la forma tridimensional de la Kaaba204, el lugar más sagrado del Islam. Esta piedra negra con forma cúbica ya existía cuando Mahoma predicaba su nueva religión monoteísta, por el año 630. Nunca quiso destruirla, ni predicar en contra de algo tan antiguo y arraigado en el sentir de los pueblos nómadas que la tenían como un símbolo de sus más ancestrales raíces. Existe una legendaria narración que explica su procedencia:
«Después de ser expulsado del Paraíso por el Arcángel enviado por Dios-Padre, Adán construyó un santuario con zafiros y rubíes. Para evitar las aguas del diluvio, fue elevado al cielo. Con la nueva Alianza, Dios ordenó a Abraham que construyera un nuevo santuario donde antes estuvo el de Adán para colocar en él la piedra enviada por el arcángel Yibril, una nueva Kaaba. Abraham convocó a toda la humanidad a que la visitasen y colocasen en ella el corazón del hombre. Cuando los peregrinos llegaban a sus inmediaciones mostraban su disposición a abrir sus corazones diciendo “heme aquí, oh Señor”; entonces, una gran paz inundaba su alma y se sentía comunicado con su Dios. Después, los hombres se olvidaron del significado del cubo negro, practicando idolatrías y desviándose del camino indicado por Dios. Con el Islam, predicado por su profeta Mahoma, el lugar volvió a ser la santa casa de Dios.»

Octaedro regular
Es un poliedro formado por ocho caras, triángulos equiláteros, iguales entre sí. Las doce aristas del poliedro son las comunes entre pares de caras; y, sus seis vértices, los de reunión de cuatro caras, conformando un ángulo tetraédrico205 de 240° al concurrir en ellos cuatro vértices triangulares regulares de 60º cada uno; siendo la suma igual a 240º, [60º + 60º + 60º + 60º = 240º], [ilustración 4].

Es también una Figura formada por tres Cuadrados con una diagonal común dos a dos (AB, en 4.2); siendo el tercero ortogonal a dicho eje. Estos Cuadrados así determinados contienen aristas y vértices; de manera que, al cortarse por sus diagonales, conforman ocho triedros trirrectángulos con vértice común el centro del poliedro y de las Esferas principales. Así, las diagonales de estos Cuadrados interiores son diagonales principales del poliedro y ejes de estos triedros.
En el Octaedro regular se cumple que sus ocho caras son congruentes porque también lo son los Triedros que las sustentan. En el triedro de ejes AO, CO y FO, el plano secante que contiene a los vértices A, C y F cortan al poliedro según la cara ACF, correspondiente. Por este motivo, las caras del Octaedro pueden considerarse secciones planas producidas por planos secantes equidistantes del centro O.
De igual modo, el Octaedro puede considerarse como un poliedro formado por dos pirámides regulares de base cuadrangular (EDCF) que se desdobla en las bases comunes [E1D1C1F1 y E2D2C2F2], [4.3].

Dodecaedro regular
Es un poliedro formado por doce caras, Pentágonos regulares iguales entre sí, que se unen dos a dos, conformando treinta aristas comunes y veinte vértices de ángulos triédricos de 324°, resultado de sumar los ángulos de las caras [108º + 108º + 108º = 342º], [ilustración 5].

Las diagonales principales del Dodecaedro regular unen vértices opuestos, contienen al centro del poliedro, son iguales entre sí y son diámetros de la Esfera circunscrita. Tiene hasta quince diagonales principales, una por cada par de vértices. De igual modo, los pares de aristas diametralmente opuestas son paralelas por pertenecer a dos caras también opuestas y paralelas; pudiendo darse hasta seis pares de caras paralelas que determinarán quince pares de aristas diametralmente opuestas y paralelas. La distancia mínima entre estos pares de aristas opuestas es el mismo y corresponde al diámetro de la Esfera semiinscrita, tangente a las aristas; siendo su número de seis, [ilustración 6].

El aspecto del Dodecaedro apoyado en una de sus caras es como el de dos casquetes poliédricos convexos de bases pentagonal regular, opuestas y giradas 54° una de otra, [6.2]; de manera que, las caras laterales de uno encajarán en los huecos dejados por las caras laterales del otro. Así, cada casquete lo componen seis Pentágonos regulares: uno para la base y, los cinco restantes, soldados entre sí y con la base.
Una de las principales aplicaciones del Dodecaedro, la construcción de cúpulas geodésicas, se aprovecha de la facilidad de conformar estructuras estables y ligeras de peso. El primer arquitecto en utilizarlas fue R. B. Fuller, que presentó su primer proyecto en 1951 basado en la triangulación de una superficie esférica. El procedimiento más simple de generar cúpulas geodésicas es a partir de un Dodecaedro regular inscrito en una esfera. La prolongación de las rectas que unen el centro del poliedro con el centro de las caras cortan a la esfera en un punto, vértice-común de cinco triángulos isósceles cuyos lados son las rectas que lo unen con los cinco vértices de la cara correspondiente. Repetida esta operación con las doce caras del poliedro se obtendrá la primera transformación del Dodecaedro. Bastará trazar nuevas rectas centrales que pasarán, en esta nueva fase, por los centros de los triángulos isósceles para obtener nuevos triángulos.

Icosaedro regular
Está formado por veinte caras, triángulos equiláteros iguales entre sí, que se unen dos a dos en treinta aristas, las comunes entre pares. Sus doce vértices forman ángulos pentaédricos207 de 300°; resultado de sumar los ángulos de las caras que confluyen, cinco triángulos Equiláteros con ángulos iguales de 60° cada uno [60º + 60º + 60º + 60º + 60º = 300º], [ilustración 7].

Las diagonales principales del Icosaedro son los segmentos rectos que unen dos vértices opuestos, contienen al centro del poliedro y son diámetros de la Esfera que lo circunscribe. Existirán hasta seis diagonales principales, una por cada par de vértices. Las caras opuestas, como en los demás poliedros regulares, son paralelas dos a dos.
El segmento que pasa por los centros de sus caras triangulares es perpendicular a las mismas, es la distancia mínima entre ellas, contiene al centro del poliedro y son iguales a los diámetros de la Esfera inscrita.
De igual modo, los segmentos que contienen a los puntos medios de dos aristas opuestas y paralelas, son la distancia mínima entre ellos, contiene al centro del poliedro y son iguales a los diámetros de la Esfera semiinscrita (tangente a las aristas por su punto medio)

Dos aristas opuestas y paralelas determinan un plano secante que corta al poliedro en dos partes iguales, conteniendo a las alturas de caras, aristas, y tres de los seis ejes principales del poliedro. Se podrán trazar hasta cinco planos secantes de este tipo.

Conjugación de los sólidos platónicos
Piero della Francesca, al relacionar los poliedros entre ellos, obtuvo unos a partir de otros y los inscribió sucesivamente; descubriendo algunas curiosidades. Por ejemplo, comprobó que los Tetraedros son susceptibles de contenerse porque el número de vértices y el de caras es el mismo, cuatro; que el Octaedro tiene el mismo número de vértices que el Hexaedro caras, seis; y, de igual modo, el número de vértices del Hexaedro el mismo número de caras que el Octaedro; etcétera. Esta curiosidad permitía inscribir unos poliedros en otros.

A esta propiedad común a denominó “dualidad o conjugación”. Así, el conjugado del Dodecaedro es el Icosaedro, y viceversa; y, el conjugado del Hexaedro es el Octaedro, y viceversa, [ilustración 8]. Según las propiedades duales, los poliedros componen tres grupos:

Primer grupo:

Tetraedro que es dual de sí mismo
Segundo grupo:

Hexaedro dual del Octaedro; y viceversa.
Tercer grupo:

Icosaedro dual del Dodecaedro; y viceversa.

Por otro lado, Kepler, fascinado por la cosmogonía pitagórica, elaboró su propia cosmología en la creencia de que la limitación del número de poliedros regulares posibles era una señal. Dios no se había equivocado al crear sólo seis planetas solares: Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Júpiter y Saturno; que eran los que se conocían entonces.
Kepler pensó que los dos números estaban vinculados y construyó un modelo geométrico basado en Esferas concéntricas que contenían, a su vez, poliedros encajados que relacionaban los diámetros del las esferas con las órbitas de los planetas:
«Hay sólo seis planetas porque sólo hay cinco poliedros regulares»
A este esqueleto del sistema solar le llamó El Misterio Cósmico. Así, en la esfera de Saturno, inscribió un Hexaedro; inscrito en él, la esfera de Júpiter que circunscribía a un Tetraedro. Inscrita en el Tetraedro, la esfera de Marte y el dodecaedro de la Tierra; entre la Tierra y Venus un Icosaedro; entre Venus y Mercurio, un octaedro. Y en el centro de todo el sistema el Sol.

Analicemos a continuación los rectángulos más interesantes que podemos encontrarnos en nuestros análisis geométricos.
La gran clasificación es considerar tres tipos genéricos:

• Estáticos

• Dinámicos

• Irracionales.

• Rectángulos estáticos

Constituidos por lados con dimensiones enteras y se obtienen dividiendo el PB (Cuadrado) en partes iguales, porciones que pasarán a considerarse unidades. Así, si se divide en tres partes iguales, cada una de estas partes será una unidad entera. Y se dirá entonces que el PB es 3:3, idéntico al 2:2, 1:1, o cualquier otro número de divisiones en que lo dividamos.
Los más conocidos y utilizados son los que se exponen en la ilustración siguiente; y que enumeramos como Rectángulo estático 4:5 (primero, se nombra el lado de la base, y a continuación el lado vertical); Rectángulo estático 3:4; Rectángulo estático 3:5; etcétera.

Es evidente que cualquier combinación de partes compondrá un buen rectángulo estático, siempre que la estas partes no sean divisibles entre sí; en cuyo caso, se tomará la fracción menor. Así, un rectángulo 3:6 es idéntico al rectángulo 1:3, resultado de reducir la fracción.

El rectángulo estático más famosos es el 3:2, denominado Rectángulo Egipcio; que tiene la propiedad de contener en su interior una Mandorla (Almendra) o Vesícula Piscis, el resultado de la intersección de dos Círculos equipolentes de radios idénticos, cuyos centros son los extremos de un segmento de longitud el mismo radio.

Esta peculiar disposición confiere múltiples propiedades y divide el espacio rectangular de manera armónica, como se muestra en la siguiente ilustración.

• Rectángulos dinámicos

Se obtienen mediante la diagonal de un rectángulo anterior, tomado como base, que conservará uno de los lados; siendo la longitud del otro lado, la de la diagonal correspondiente al de partida. Los rectángulos dinámicos más usuales son los que tienen al PB de partida; empezando por el Rectángulo raíz cuadrada de dos, que, como se sabe, es la longitud de la diagonal del Cuadrado de lado la unidad [D = √1+1 = √2], tomado de partida.

Rectángulo raíz cuadrada de tres; tomando como lado mayor la diagonal del rectángulo raíz cuadrada de dos, de partida

.

Rectángulo raíz cuadrada de cinco medios. La diagonal del semi-Cuadrado es igual a raiz cuadrada de cinco partido por dos; por tanto podré emplearse como lado de un rectángulo que tenga como lado mayor el del Cuadrado de partida y como menor, el de la diagonal hallada; o bien, añadirle dicha diagonal al semi-lado del Cuadrado, obteniendo un resultado que guardará la misma relación proporcional.

Rectángulo raíz cuadrada de cinco [√5]. La diagonal del rectángulo raíz cuadrada de tres, mencionado antes, es igual a raíz cuadrada de cinco; por tanto, se podrá emplear para obtener el rectángulo buscado. Bastará partir del rectángulo √3 y aplicar el procedimiento ya visto.

En la ilustración siguiente, se observam ciertas relaciones proporcionales de enorme importancia cuando tengamos que aplicar longitudes equivalentes a las raíces cuadradas de lados de determinados rectángulo. La primera relación es obvia: Las diagonales (B-M y B-N) son iguales [B-M = B-N] al tratarse de un rectángulo estático de razón 2:1 ó su idéntico 1:2 (el primero horizontal, el segundo vertical), de valores √5.

En el rectángulo √2, esta longitud será idéntica a la diagonal de Cuadrado de lado el menor de dicho rectángulo [B-U, en la ilustracion] o el segmento que une uno de sus vértices con el punto medio del lado opuesto [B-H].

SE podrá afirmar, de igual modo, que la diagonal (B-D1) en el rectángulo √3 equivale a una longitud de √5, y será idéntica a la longitud del segmento que una un vértice con el punto medio del lado opuesto [B-T, en la ilustración].

• Rectángulos irracionales

Rectángulo áureo, tiene como lados la unidad y el número de oro. Para obtener la longitud áurea, se dividirá el lado del PB de partida en dos partes iguales, que se tomará como diámetro del círculo que contiene a los vértices correspondientes. La recta que parte del vértice opuesto y contiene a dicho centro (puntos medio del lado opuesto) corta al círculo según proporción áurea (0,618 y 1,618) que se podrá utilizar como lado mayor del rectángulo buscado.

En la parte inferior de la misma ilustración se expone una secuencia de cuatro fases, que explica la construcción del rectángulo que explica el texto.

Rectángulo π, tiene como lados la unidad y el número de π. La dificultad de obtener una longitud exacta del número irracional π (3,1416…) aconseja emplear la rectificación de una circunferencia, cuya longitud es dos veces el radio por pi (π), y aprovechar la longitud gráfica de π.
Se aconseja emplear el método Kochavsky para la rectificación de la semi-circunferencia y duplicar después la longitud obtenida. Se duplican los errores para se simplifican los trazados.

Rectángulo cordobés, empleado por los arquitectos de la Mezquita. Su trazado es muy curioso. Se parte de un PB (A-B1-C2-D1) que se transforma en Rectángulo √2, con la obtención del vértice B que señala la longitud del segmento [A-B] Con centro dicho vértice y radio la distancia [B-C1] se trazará un arco que cortará a la perpendicular levantada por B en el vértice C buscado.

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