Statuses

Hablemos de rectángulos

In Geometría plana on 29 septiembre, 2010 by alvarengomez

© Álvaro Rendón Gómez, septiembre 2010

Analicemos a continuación los rectángulos más interesantes que podemos encontrarnos en nuestros análisis geométricos.
La gran clasificación es considerar tres tipos genéricos:

  • Estáticos
  • Dinámicos
  • Irracionales.

• Rectángulos estáticos

Constituidos por lados con dimensiones enteras y se obtienen dividiendo el PB (Cuadrado) en partes iguales, porciones que pasarán a considerarse unidades. Así, si se divide en tres partes iguales, cada una de estas partes será una unidad entera. Y se dirá entonces que el PB es 3:3, idéntico al 2:2, 1:1, o cualquier otro número de divisiones en que lo dividamos.
Los más conocidos y utilizados son los que se exponen en la ilustración siguiente; y que enumeramos como Rectángulo estático 4:5 (primero, se nombra el lado de la base, y a continuación el lado vertical); Rectángulo estático 3:4; Rectángulo estático 3:5; etcétera.


Es evidente que cualquier combinación de partes compondrá un buen rectángulo estático, siempre que la estas partes no sean divisibles entre sí; en cuyo caso, se tomará la fracción menor. Así, un rectángulo 3:6 es idéntico al rectángulo 1:3, resultado de reducir la fracción.

El rectángulo estático más famosos es el 3:2, denominado Rectángulo Egipcio; que tiene la propiedad de contener en su interior una Mandorla (Almendra) o Vesícula Piscis, el resultado de la intersección de dos Círculos equipolentes de radios idénticos, cuyos centros son los extremos de un segmento de longitud el mismo radio.

Esta peculiar disposición confiere múltiples propiedades y divide el espacio rectangular de manera armónica, como se muestra en la siguiente ilustración.

• Rectángulos dinámicos

Se obtienen mediante la diagonal de un rectángulo anterior, tomado como base, que conservará uno de los lados; siendo la longitud del otro lado, la de la diagonal correspondiente al de partida. Los rectángulos dinámicos más usuales son los que tienen al PB de partida; empezando por el Rectángulo raíz cuadrada de dos, que, como se sabe, es la longitud de la diagonal del Cuadrado de lado la unidad [D = √1+1 = √2], tomado de partida.

Rectángulo raíz cuadrada de tres; tomando como lado mayor la diagonal del rectángulo raíz cuadrada de dos, de partida

.

Rectángulo raíz cuadrada de cinco medios. La diagonal del semi-Cuadrado es igual a raiz cuadrada de cinco partido por dos; por tanto podré emplearse como lado de un rectángulo que tenga como lado mayor el del Cuadrado de partida y como menor, el de la diagonal hallada; o bien, añadirle dicha diagonal al semi-lado del Cuadrado, obteniendo un resultado que guardará la misma relación proporcional.

Rectángulo raíz cuadrada de cinco [√5]. La diagonal del rectángulo raíz cuadrada de tres, mencionado antes, es igual a raíz cuadrada de cinco; por tanto, se podrá emplear para obtener el rectángulo buscado. Bastará partir del rectángulo √3 y aplicar el procedimiento ya visto.

En la ilustración siguiente, se observam ciertas relaciones proporcionales de enorme importancia cuando tengamos que aplicar longitudes equivalentes a las raíces cuadradas de lados de determinados rectángulo. La primera relación es obvia: Las diagonales (B-M y B-N) son iguales [B-M = B-N] al tratarse de un rectángulo estático de razón 2:1 ó su idéntico 1:2 (el primero horizontal, el segundo vertical), de valores √5.

En el rectángulo √2, esta longitud será idéntica a la diagonal de Cuadrado de lado el menor de dicho rectángulo [B-U, en la ilustracion] o el segmento que une uno de sus vértices con el punto medio del lado opuesto [B-H].

SE podrá afirmar, de igual modo, que la diagonal (B-D1) en el rectángulo √3 equivale a una longitud de √5, y será idéntica a la longitud del segmento que una un vértice con el punto medio del lado opuesto [B-T, en la ilustración].

• Rectángulos irracionales

Rectángulo áureo, tiene como lados la unidad y el número de oro. Para obtener la longitud áurea, se dividirá el lado del PB de partida en dos partes iguales, que se tomará como diámetro del círculo que contiene a los vértices correspondientes. La recta que parte del vértice opuesto y contiene a dicho centro (puntos medio del lado opuesto) corta al círculo según proporción áurea (0,618 y 1,618) que se podrá utilizar como lado mayor del rectángulo buscado.

En la parte inferior de la misma ilustración se expone una secuencia de cuatro fases, que explica la construcción del rectángulo que explica el texto.

Rectángulo π, tiene como lados la unidad y el número de π. La dificultad de obtener una longitud exacta del número irracional π (3,1416…) aconseja emplear la rectificación de una circunferencia, cuya longitud es dos veces el radio por pi (π), y aprovechar la longitud gráfica de π.
Se aconseja emplear el método Kochavsky para la rectificación de la semi-circunferencia y duplicar después la longitud obtenida. Se duplican los errores para se simplifican los trazados.

Rectángulo cordobés, empleado por los arquitectos de la Mezquita. Su trazado es muy curioso. Se parte de un PB (A-B1-C2-D1) que se transforma en Rectángulo √2, con la obtención del vértice B que señala la longitud del segmento [A-B] Con centro dicho vértice y radio la distancia [B-C1] se trazará un arco que cortará a la perpendicular levantada por B en el vértice C buscado.


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