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Sólidos platónicos

In Geometría del espacio on 29 septiembre, 2010 by alvarengomez

© Álvaro Rendón Gómez, septiembre 2010

La existencia de los poliedros regulares se conoce por Platón. En su Diálogo con Timeo, también titulado, “Sobre la Naturaleza”, asegura que son cinco y sólo cinco. Los cuatro primeros simbolizan a los cuatro elementos (fuego, tierra, aire y agua) y el quinto, la síntesis de todos, el símbolo general del universo.

Proclo, en sus Comentarios al Libro I de Los Elementos de Euclides, atribuía a Pitágoras la construcción de las cinco figuras cósmicas y su comparación con la cosmogonía. El posible interés de Pitágoras por los poliedros vendría de una observación infantil de las formas regulares geométricas de los minerales; puesto que, su padre, era tallador de piedras preciosas. Además, los cristales dodecaédricos de la pirita, muy abundantes en el sur de Italia, donde vivió Pitágoras tras abandonar Samos, debieron motivarlo a considerarlo como modelo del cosmos:
«Pitágoras dice que la tierra está hecha del cubo, el fuego de la pirámide [tetraedro], el aire del octaedro y el agua del icosaedro, y del dodecaedro está compuesta la esfera del todo»
Para Platón, el mundo real es una copia imperfecta del mundo de las ideas hecha por el Demiurgo:
«Ser inteligente y bueno al que le atrae la belleza y trata de recrearla. Este personaje crea en primer lugar el alma del mundo y la esfera celeste (lo hace dándole forma esférica, la más perfecta) en cuyo centro está la Tierra. Después se ocupa de la materia con la que está hecho el mundo; se compone de cuatro elementos: fuego, tierra, aire y agua. Los elementos han de ser “sólidos” (pues las cosas no solamente son planas sino que tienen profundidad) y han de ser capaces de recomponerse unos en otros. Puesto que han de ser sólidos, esto es, limitados por planos y un plano está compuesto por piezas sencillas (triángulos), el Demiurgo elige de éstos los más bellos: el triángulo rectángulo isósceles (con dos piernas — catetos— iguales, es decir, la escuadra) y el triángulo rectángulo escaleno (cojo) que posee la propiedad de tener la hipotenusa de doble longitud que uno de sus catetos (el cartabón). A partir de seis de estos últimos triángulos construye el triángulo equilátero y, con estas piezas, el tetraedro, el octaedro y el icosaedro. Con cuatro triángulos rectángulos isósceles construye el cuadrado y con seis de éstos el cubo.»
Concluye analizando las propiedades de los elementos y de los cuatro poliedros anteriores, que los átomos de tierra son cubos, los de agua octaedros, los de aire icosaedros y los de fuego tetraedros. Como le queda una última configuración regular (el dodecaedro) la asocia con el cosmos, con la quintaesencia. Estos poliedros son regulares porque,
«tienen la propiedad de dividir en partes iguales y semejantes la superficie de la esfera en que está inscrito» (Timeo 55a)
Alaba la figura del Dodecaedro, dejando para el final la explicación de sus cualidades:
«Quedaba aún una sola y única combinación; el Dios se sirvió de ella para el Todo cuando esbozó su disposición final» (Timeo 55c)
No obstante, la concepción de la idea de los cuerpos poliédricos es primitiva. Es ser humano observaría las formas que adoptan algunos cristales naturales, como la pirita, esqueletos de animales marinos como la radiolaria, etcétera. No obstante, se desconoce el origen y utilidad de estas piezas que pudieran tener una significación estética, mística o religiosa. Keith Critchlow197 descubrió algunos sólidos neolíticos con formas poliédricas, procedentes de Escocia, que se hallan en el Ashmolean Museum, de Oxford:
«Son objetos que indican claramente un grado de dominio de las matemáticas que hasta la fecha todo arqueólogo o historiador de la matemática le había negado al hombre neolítico.»
Estos sólidos a los que se hace referencia son una esfera tetraédrica neolítica, [ilustración 1], con inscripciones rúnicas lo que podría deducirse su utilización como piedra sagrada empleada en algún ritual mágico entre los celtas o como paredro de un dolmen megalítico: Tres piedras de base y la superficie superior que lo tapa, transformando el espacio interior en un ámbito restringido y mágico, mínima expresión de habitáculo del dios.

También se han encontrado un Dodecaedro etrusco, de aproximadamente el año 500 a.JC., que se conserva en el Landes-Museum, en Mainz de Alemania; así como un Icosaedro romano, conservado en Rheinisches Landes-Museum, de la ciudad de Bonn.
Para Plummer, la mística hindú asocia el Icosaedro con el Purusha, la semilla-imagen de Brahma, el creador supremo, la imagen del hombre cósmico, equivalente al antropocosmos de la tradición esotérica occidental, mientras que el dodecaedro es asociado con Prakiti, el poder femenino de la creación, la Madre Universal, la quintaesencia del universo natural. En la mitología hindú, Purusha y Prakiti son la eterna dicotomía creadora, representación mística de la dualidad geométrica entre el Icosaedro y el dodecaedro.
Diversos historiadores de las Matemáticas (Eves, 1983; Kline, 1992), por otro lado, admiten que las antiguas civilizaciones, como Egipto y Babilonia, conocían el cubo, tetraedro y octaedro, y que este saber se trasmitió a Grecia durante los viajes de Tales y Pitágoras. O bien, que los griegos hubiesen deducido su existencia por semejanza con los polígonos regulares, cuyas construcciones legítimas, con regla y compás, dominaban. Así como en el plano las formas trascendentes son los Polígonos regulares, capaces de quedar inscritos en una circunferencia. Del mismo modo, en el espacio, las figuras poliédricas cumplirían la propiedad de quedar inscritas en una Esfera.

Tetratedro regular
Es el poliedro más simple que puede inscribirse en una Esfera. Lo conforman cuatro caras, triángulos Equiláteros, iguales entre ellas. Sus seis aristas son las comunes entre pares de caras, y, sus cuatro vértices poseen un ángulo triédrico en cada uno de ellos, [ilustración 2]. Tiene la particularidad de carecer de diagonales y, en él se cumple que dos aristas opuestas se orientan ortogonalmente (en ángulo recto). Estas dos aristas son suficientes para componer un espacio tetraédrico. Así, las aristas [VA-CB], [VC-AB] y [VB-AC] son opuestas y se cruzan perpendicularmente. Se este modo, al unir los puntos medios de los pares de aristas opuestas el segmento que los unen se cortarán en un punto equidistante, denominado centro [O], centro de la Esfera que lo circunscribe y del Poliedro. De manera que, ese punto-centro es también el de intersección de las perpendiculares trazadas a las caras desde los vértices opuestos, no contenidos en las mismas. Estas perpendiculares reciben el nombre de alturas del Tetraedro.

El poliedro que se conjuga con él es otro Tetraedro, y ambos componen una serie ininterrumpida de cuerpos inscritos unos en otros, cumpliendo la propiedad de girarse a medida que diminuyen, o aumentan su superficie. De este modo, todos los posibles Tetraedros conjugados de uno cualquiera dado componen una visión de lo eterno e inconmensurable que debieron inspirar a debieron a los geómetras egipcios para construir la gran Pirámide. El habitáculo para eternidad del Faraón debía ser un edificio cuya percepción completa sea imposible; es decir, sea inabarcable con la vista. Como ocurre con la eternidad, que no puede siquiera imaginarse. Un observador situado al pie del monumento sólo captará su gigantesca mole, un montículo de arena202 que lo sobrepasa y, al mismo tiempo, lo empequeñece. La visión de esa colosal montaña de bloques lo supera en miles de veces. La gran Pirámide sería considerada así como el símbolo constructivo de la eternidad.
Esta forma poliédrica la hallamos en algunos cristales, formando parte de sus estructuras vitales. Así, la molécula del metano, cuya fórmula admite un átomo de carbono y cuatro de hidrógeno, obliga al carbono a situarse en el centro geométrico del poliedro y los cuatro átomos de hidrógeno en cada uno de los vértices del Tetraedro.
A pesar de ser el poliedro más simple y el formado por el menor número de caras, no se emplea en la industria del envase por no ser rentable. Ahora recuerdo que hubo un envasador de zumos que empleó como contenedor de sus productos un Tetraedro regular. También recuerdo lo complicado que resultaba darle un sitio en el frigorífico, porque ocupaba mucha superficie en la base y dejaba, en cambio, mucho hueco libre por arriba. Además, resultaba incómodo asirlo para servirse. Comparándolo con el poliedro que sigue, los números no miente: Para que un envase tetraédrico contenga un litro de líquido sería necesario un desarrollo plano de 7’2 dm2; mientras que 6 dm2 serán suficientes para contener el mismo volumen en un envase cúbico, hexaédrico.

Hexaedro o Cubo
Está formado por seis caras, cuadrados, iguales entre sí, recibe el nombre de Hexaedro, [ilustración 3]. Tiene doce aristas, las comunes entre pares de caras, y ocho vértices, los puntos de encuentro de tres caras, conformando entre ellas un ángulo triédrico en cada uno de ellos de 270°, suma de los tres ángulos rectos de las tres caras cuadradas [90º + 90º + 90° = 270º].
Las cuatro diagonales que unen pares de vértices opuestos del poliedro son también ejes fundamentales.

Se cortan entre ellos en un punto-centro [O] de la Esfera que inscribe al del Poliedro. Por otro lado, los segmentos que unen los puntos medios de dos aristas opuestas son de longitud idéntica a la de las diagonales de cara, y se cortan, igualmente, en el centro [O] del Poliedro. Y, por último, los segmentos que unen los centros de dos caras opuestas, [1-3], [4-2] y [5-6], se cortan también en el centro [O] del Poliedro.
La tercera cámara del primer Templo de Salomón, el Kodesh HaKodashim o Santo de los Santos, adoptó la forma cúbica. Como se recordará, debía medir veinte codos de lado. Es, también, cúbica la forma tridimensional de la Kaaba204, el lugar más sagrado del Islam. Esta piedra negra con forma cúbica ya existía cuando Mahoma predicaba su nueva religión monoteísta, por el año 630. Nunca quiso destruirla, ni predicar en contra de algo tan antiguo y arraigado en el sentir de los pueblos nómadas que la tenían como un símbolo de sus más ancestrales raíces. Existe una legendaria narración que explica su procedencia:
«Después de ser expulsado del Paraíso por el Arcángel enviado por Dios-Padre, Adán construyó un santuario con zafiros y rubíes. Para evitar las aguas del diluvio, fue elevado al cielo. Con la nueva Alianza, Dios ordenó a Abraham que construyera un nuevo santuario donde antes estuvo el de Adán para colocar en él la piedra enviada por el arcángel Yibril, una nueva Kaaba. Abraham convocó a toda la humanidad a que la visitasen y colocasen en ella el corazón del hombre. Cuando los peregrinos llegaban a sus inmediaciones mostraban su disposición a abrir sus corazones diciendo “heme aquí, oh Señor”; entonces, una gran paz inundaba su alma y se sentía comunicado con su Dios. Después, los hombres se olvidaron del significado del cubo negro, practicando idolatrías y desviándose del camino indicado por Dios. Con el Islam, predicado por su profeta Mahoma, el lugar volvió a ser la santa casa de Dios.»

Octaedro regular
Es un poliedro formado por ocho caras, triángulos equiláteros, iguales entre sí. Las doce aristas del poliedro son las comunes entre pares de caras; y, sus seis vértices, los de reunión de cuatro caras, conformando un ángulo tetraédrico205 de 240° al concurrir en ellos cuatro vértices triangulares regulares de 60º cada uno; siendo la suma igual a 240º, [60º + 60º + 60º + 60º = 240º], [ilustración 4].

Es también una Figura formada por tres Cuadrados con una diagonal común dos a dos (AB, en 4.2); siendo el tercero ortogonal a dicho eje. Estos Cuadrados así determinados contienen aristas y vértices; de manera que, al cortarse por sus diagonales, conforman ocho triedros trirrectángulos con vértice común el centro del poliedro y de las Esferas principales. Así, las diagonales de estos Cuadrados interiores son diagonales principales del poliedro y ejes de estos triedros.
En el Octaedro regular se cumple que sus ocho caras son congruentes porque también lo son los Triedros que las sustentan. En el triedro de ejes AO, CO y FO, el plano secante que contiene a los vértices A, C y F cortan al poliedro según la cara ACF, correspondiente. Por este motivo, las caras del Octaedro pueden considerarse secciones planas producidas por planos secantes equidistantes del centro O.
De igual modo, el Octaedro puede considerarse como un poliedro formado por dos pirámides regulares de base cuadrangular (EDCF) que se desdobla en las bases comunes [E1D1C1F1 y E2D2C2F2], [4.3].

Dodecaedro regular
Es un poliedro formado por doce caras, Pentágonos regulares iguales entre sí, que se unen dos a dos, conformando treinta aristas comunes y veinte vértices de ángulos triédricos de 324°, resultado de sumar los ángulos de las caras [108º + 108º + 108º = 342º], [ilustración 5].

Las diagonales principales del Dodecaedro regular unen vértices opuestos, contienen al centro del poliedro, son iguales entre sí y son diámetros de la Esfera circunscrita. Tiene hasta quince diagonales principales, una por cada par de vértices. De igual modo, los pares de aristas diametralmente opuestas son paralelas por pertenecer a dos caras también opuestas y paralelas; pudiendo darse hasta seis pares de caras paralelas que determinarán quince pares de aristas diametralmente opuestas y paralelas. La distancia mínima entre estos pares de aristas opuestas es el mismo y corresponde al diámetro de la Esfera semiinscrita, tangente a las aristas; siendo su número de seis, [ilustración 6].

El aspecto del Dodecaedro apoyado en una de sus caras es como el de dos casquetes poliédricos convexos de bases pentagonal regular, opuestas y giradas 54° una de otra, [6.2]; de manera que, las caras laterales de uno encajarán en los huecos dejados por las caras laterales del otro. Así, cada casquete lo componen seis Pentágonos regulares: uno para la base y, los cinco restantes, soldados entre sí y con la base.
Una de las principales aplicaciones del Dodecaedro, la construcción de cúpulas geodésicas, se aprovecha de la facilidad de conformar estructuras estables y ligeras de peso. El primer arquitecto en utilizarlas fue R. B. Fuller, que presentó su primer proyecto en 1951 basado en la triangulación de una superficie esférica. El procedimiento más simple de generar cúpulas geodésicas es a partir de un Dodecaedro regular inscrito en una esfera. La prolongación de las rectas que unen el centro del poliedro con el centro de las caras cortan a la esfera en un punto, vértice-común de cinco triángulos isósceles cuyos lados son las rectas que lo unen con los cinco vértices de la cara correspondiente. Repetida esta operación con las doce caras del poliedro se obtendrá la primera transformación del Dodecaedro. Bastará trazar nuevas rectas centrales que pasarán, en esta nueva fase, por los centros de los triángulos isósceles para obtener nuevos triángulos.

Icosaedro regular
Está formado por veinte caras, triángulos equiláteros iguales entre sí, que se unen dos a dos en treinta aristas, las comunes entre pares. Sus doce vértices forman ángulos pentaédricos207 de 300°; resultado de sumar los ángulos de las caras que confluyen, cinco triángulos Equiláteros con ángulos iguales de 60° cada uno [60º + 60º + 60º + 60º + 60º = 300º], [ilustración 7].

Las diagonales principales del Icosaedro son los segmentos rectos que unen dos vértices opuestos, contienen al centro del poliedro y son diámetros de la Esfera que lo circunscribe. Existirán hasta seis diagonales principales, una por cada par de vértices. Las caras opuestas, como en los demás poliedros regulares, son paralelas dos a dos.
El segmento que pasa por los centros de sus caras triangulares es perpendicular a las mismas, es la distancia mínima entre ellas, contiene al centro del poliedro y son iguales a los diámetros de la Esfera inscrita.
De igual modo, los segmentos que contienen a los puntos medios de dos aristas opuestas y paralelas, son la distancia mínima entre ellos, contiene al centro del poliedro y son iguales a los diámetros de la Esfera semiinscrita (tangente a las aristas por su punto medio)


Dos aristas opuestas y paralelas determinan un plano secante que corta al poliedro en dos partes iguales, conteniendo a las alturas de caras, aristas, y tres de los seis ejes principales del poliedro. Se podrán trazar hasta cinco planos secantes de este tipo.

Conjugación de los sólidos platónicos
Piero della Francesca, al relacionar los poliedros entre ellos, obtuvo unos a partir de otros y los inscribió sucesivamente; descubriendo algunas curiosidades. Por ejemplo, comprobó que los Tetraedros son susceptibles de contenerse porque el número de vértices y el de caras es el mismo, cuatro; que el Octaedro tiene el mismo número de vértices que el Hexaedro caras, seis; y, de igual modo, el número de vértices del Hexaedro el mismo número de caras que el Octaedro; etcétera. Esta curiosidad permitía inscribir unos poliedros en otros.

A esta propiedad común a denominó “dualidad o conjugación”. Así, el conjugado del Dodecaedro es el Icosaedro, y viceversa; y, el conjugado del Hexaedro es el Octaedro, y viceversa, [ilustración 8]. Según las propiedades duales, los poliedros componen tres grupos:

Primer grupo:

Tetraedro que es dual de sí mismo
Segundo grupo:

Hexaedro dual del Octaedro; y viceversa.
Tercer grupo:

Icosaedro dual del Dodecaedro; y viceversa.

Por otro lado, Kepler, fascinado por la cosmogonía pitagórica, elaboró su propia cosmología en la creencia de que la limitación del número de poliedros regulares posibles era una señal. Dios no se había equivocado al crear sólo seis planetas solares: Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Júpiter y Saturno; que eran los que se conocían entonces.
Kepler pensó que los dos números estaban vinculados y construyó un modelo geométrico basado en Esferas concéntricas que contenían, a su vez, poliedros encajados que relacionaban los diámetros del las esferas con las órbitas de los planetas:
«Hay sólo seis planetas porque sólo hay cinco poliedros regulares»
A este esqueleto del sistema solar le llamó El Misterio Cósmico. Así, en la esfera de Saturno, inscribió un Hexaedro; inscrito en él, la esfera de Júpiter que circunscribía a un Tetraedro. Inscrita en el Tetraedro, la esfera de Marte y el dodecaedro de la Tierra; entre la Tierra y Venus un Icosaedro; entre Venus y Mercurio, un octaedro. Y en el centro de todo el sistema el Sol.

Una respuesta to “Sólidos platónicos”

  1. fascinante .GRACIAS Y HASTA SIEMPRE

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