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Curiosidades del Plano Básico

In Geometría plana on 4 octubre, 2010 by alvarengomez

© Álvaro Rendón Gómez, Agosto 2010

Hay muchas razones para considerar al Cuadrado como una forma básica que, junto al Triángulo Equilátero y el Círculo, completarían la Tríada de Formas fundamentales. Este artículo pretende aportar una razón más: la adaptabilidad del Plano Básico a relacionarse con todos los Polígonos regulares. Es decir, que tomando al Cuadrado como origen se deriven todos los demás polígonos. La formulación del problema quedaría como sigue: “Construir polígonos regulares que tengan por lado el de un Cuadrado dado“; que podría concretarse en “hallar los centros de las Circunferencias que inscriben a cualquier polígono regular convexo que tiene por lado el de un Cuadrado tomado como referencia”

La solución que mostramos da lugar a multitud de especulaciones que el amante de la Geometría podrá averiguar y deducir, descubriendo el carácter creativo de la disciplina. Las construcciones estarían basadas en la existencia de una relación proporcional entre el lado de un Cuadrado dado y puntos de su mediatriz; de tal modo que tomándolo como centros de Circunferencias sucesivas, permitirán inscribir Triángulos Equiláteros, Pentágonos, Hexágnos, Heptágonos, Octógoos, Eneágonos, Decágonos, etcétera. El articulo llega hasta la construcción de este último; pero permite continuar con oros, tomando como referentes los centros de las Circunferencias que inscriben a los anteriores, como tendremos ocasión de demostrar.

Así, la Figura 1, es referencial y muestra el centro de la circunferencia que inscribe al Cuadrado o Plano Básico como la conjunción de todos sus elementos relacionantes (diagonales y mediatrices), estableciendo la equidistancia necesaria para que los vértices A-B-C-D quede contenidos en dicha Circunferencia. El centro del Polígono es el centro del Círculo que lo inscribe.

En la Figura 2, el centro O de la circunferencia que inscribe a un Triángulo Equilátero de lado el del Cuadrado de partida se concreta de modo muy sencillo y directo: uniendo uno de los vértices de la base del Cuadrado (C) con el punto J, de intersección del arco de centro dicho punto C y radio la longitud del lado dado. De este modo, trazando el Círculo de centro O que contiene a los extremos B y C del Cuadrado, habremos solucionado la cuestión.

El centro del Círculo que contiene al Pentágono regular convexo, O, es el resultado de unir el punto Q, pie de la mediatriz horizontal del Cuadrado dado con el punto E, intersección con el lado del Cuadrado dl arco de centro el pie de mediatriz vertical, N, y radio el lado del mencionado Cuadrado. Obviamente, para completar el Polígono regular habrá que llevar la longitud del lado del Cuadrado dado, idéntico por construcción al del Pentágono regular a lo largo del Círculo para ir concretando sus vértices, Figura 3.

El centro O del Círculo que inscribe a un Hexágono regular convexo de lado el de un Cuadrado dado, Figura 4, es el vértice superior de un Triángulo Equilátero de lado idéntico al de los polígonos anteriores, de partida y construcción. Para construir el Triángulo Equilátero se procederá como se ha explicado en la Figura 2

La Figura 5 muestra gráficamente estas relaciones que mencionamos al comienzo del articulo. Obsérvese que el centro O del Heptágono regular –polígono de siete lados iguales entre sí–, se obtiene mediante el arco de centro el del Hexágono regular y radio la distancia del mismo al centro del Pentágono regular.

El centro O del Círculo que inscribe al Octógono regular convexo de lado el del Cuadrado de referencia, estará en cualquiera de las mediatrices del mismo. En la Figura 6 se ha tomado la mediatriz vertical que es cortada por el Círculo que circunscribe al Cuadrado. De modo que, bastará hacer centro en el del Cuadrado y trazar el arco de diámetro la diagonal del mismo.

Llevada sobre la mediatriz vertical la distancia M-5, se obtiene el centro O del Circulo que inscribe al Eneágono regular convexo -nueve lados iguales entre sí– de lado idéntico al de un Cuadrado dado, Figura 7. M-5 es la distancia que separa el pie M de la mediatriz vertical del Cuadrado con el centro 5 del Círculo que inscribe al Pentágono regular del mismo lado.

Llevada la distancia (6-5),la que separa al centro del círculo que inscribe al hexágono regular de lado el del Cuadrado dado inscrito con el centro del pentágono regular inscrito, sobre la mediatriz, se obtenía el centro 7 del heptágono regular inscrito, Figura 5. Ahora bien, llevada la distancia (7- 5) sobre la misma mediatriz por N a partir del centro 7, se obtendrá el centro 9 del círculo de radio [9B = 9C] que inscribe al Decágono regular de lado el del cuadrado de lado el dado.

La Figura 9 muestra un resumen de los centros de los Polígonos y sus relaciones. Obsérvese que a partir del Heptágono, el segmento de separación entre los centros tiende a estabilizarse. Esto, obviamente, no es geométricamente exacto porque, como se sabe, las relaciones se verán alteradas por el numero irracional π.

-.-

2 comentarios to “Curiosidades del Plano Básico”

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